784 LEONIDA TONELLI 



Come corollario di questa proposizione si ha: 



Se le funzioni x(t.), y(t), z(t), hanno ciascuna un numero 



derivato (che può non essere lo stesso per tutte tre) finito (e quindi 



non necessariamente limitato) in tutto (a, b), è 



I. 



]'ì^'{t)i^ + ]ij'{t)r^ + ]z'{t)i^ dt=i. 



Questa proposizione contiene come casi particolari le due 

 proposizioni analoghe date dal Lebesgue (^), relative una al caso 

 in cui esistano e siano finite in tutto (a, b) le derivate x'{t), 

 y'{t), z'{t), e l'altra a quello in cui le x{t), ij{t), z{t), siano a 

 numeri derivati limitati. 



Dimostro poi che la condizione dell'assoluta continuità per 

 le x{t), y{t), z{t), già dimostrata sufficiente, è anche necessaria 

 affinchè l'integrale considerato sia la lunghezza della curva. Sicché 

 si può concludere che 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè sia 



U 



yj\x\Ì)\^Ar\y'm^\^'m' dt = l 



è che le funzioni x(t), y(t), z(t) siano assolutamente continue. 



1. — Ricordiamo alcune nozioni fondamentali. 

 Data una curva continua 



(1) x = x[t), y = y{t), z = zit) {a<t<b), 



(dove x{t), y{t), z{t), sono funzioni continue), si definisce come 

 lunghezza l di essa, nell'intervallo (a, è), il limite superiore 

 delle lunghezze delle poligonali in essa inscritte, vale a dire 

 il limite superiore delle somme 



Ev 



)x{q-xit^.,){^-{-]y{tr)-yit,.^,)i'^]z{t.)-z{tr.,)i\ 



(') H. Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, " Annali di Matematica „, 1902 

 e Legons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives. Paris, 

 Gauthier- Vili ars, 1904. 



