SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 785 



dove n è un numero intero positivo qualunque e 



a = tQ<ti<t.2<...< ^„_i <t., = b 



è una qualsiasi divisione dell'intervallo (a, h) in n parti. 



Si dimostra poi, se l è finito, che preso un numero positivo e 

 piccolo a piacere, si può sempre trovare un numero positivo ò 

 tale che, per qualsiasi divisione dell'intervallo {a,b) in parti 

 ciascuna d'ampiezza minore di ò, sia 



e, se ^ è infinito, che, preso un numero M grande a piacere, si 

 può sempre trovare un ò tale che, per ogni divisione di (a, b) 

 in parti ciascuna minore di ò, sia 



Yj V ì 4tr) - x{t,._,) [ 2+ ) ij{t,.) - y{t,._,) i 2+ ziQ- zit._,) [ 2 > M. 



Se l e finito la curva è detta rettificabile ; e si dimostra che 

 condizióne necessaria e sufficiente perchè la curva (1) sia ret- 

 tificabile è che le tre funzioni x{t), i/{t), z{t), siano a varia- 

 zione limitata (^), 



2. — Una funzione f{x) dicesi assolutamente continua (^) 

 in {a, b) se, preso un numero positivo cr piccolo a piacere, esiste 

 poi sempre un corrispondente numero )li, maggiore di zero, tale 

 che sia 



dove la sommatoria è estesa ad un qualsiasi gruppo d'inter- 

 valli (a,, p,), due a due distinti, di {a,b) avente una misura 

 minore di |u. Ricorderemo poi che in questa definizione si può 

 sostituire alla differenza /"(P,) — /"(«,) il suo valore assoluto 

 \f{^i) — /"(«,)!, ed anche la variazione totale di f{x) in(aj, p^): 



(') Vedi Jordan, Cours d' Anali/se, t. I, 2' edizione. 

 (^) G. Vitali, Sulle funzioni integrali, " Atti della R. Accademia delle 

 Scienze di Torino ,, voi. XL (1904-905). 



