786 LEONIDA TONELLI 



F(P,) — V{ai), indicando con ì'{jc) la variazione totale di f{x) 

 in {a, x). 



3. — Sia, ora, la curva continua rettificabile 



(1) x = x{t), 'i/=ij{t), z = zit) {a<t<b). 



Le x{f), y{t), z{t)j sono, per quanto si è ricordato al n. 1, 

 funzioni continue a variazione limitata: ciascuna di esse, perciò, 

 ammette derivata finita in tutti i punti di (a, b) eccettuati 

 quelli di un insieme di misura nulla {'■). Possiamo quindi dire 

 che in tutti i punti di (a, b), eccettuati quelli di un insieme di 

 misura nulla, le derivate x'{t), y'{t), z'{t), esistono insieme e sono 

 finite. Indichiamo con E l'insieme dei punti ove le tre derivate 

 dette esistono e sono finite. In E ha allora valore determinato ' 

 e finito l'espressione 



Poiché la funzione 



è, come si sa, misurabile, vediamo se è anche sommabile, vale 

 a dire se esiste l'integrale 



j^Ì\x'm^+\y'{t)[^-^]z'{t)[^ dt. ^ 



Sia h un numero maggiore di zero. Per la misurabilità di 



V]^WMn7¥(H^]^WP il gruppo G^ (w = 0,l,2, ...) dei 

 punti di (a, b) (ossia di E) in cui è 



nh < ]/)x'{t)i^+\y'{t)\^+z'{t){^ < {n -f l)h 



è misurabile. Detta ni,, la misura di G,,, si consideri la serie 



h "^ n . m„, . 



n=0 



Poiché condizione necessaria e sufficiente affinchè la 



(^) Vedi H. Lebesgue, Lecons sur l'integration, etc, pag. 128. 



