SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CUKVE 787 



sia sommabile è che la serie precedente sia convergente, basterà, 

 per dimostrare che la funzione detta è sommabile, far vedere 



che, per ogni intero JV^, la somma h ^ nm„ si mantiene inferiore 



n=0 



ad un numero fisso (^). 



Tra le misure m„ {n = 0, 1, . . ., N) ve ne possono essere 

 delle nulle: siano 



m„,, m„, , . . . , m,,^,^ {N' < N) 



quelle tra esse che sono maggiori di zero. E, evidentemente, 



N S' 



(2) h S n.m,, = h S niìtin. 



71=0 t=0 



Preso un numero e maggiore di zero e minore del minore 

 dei numeri m,,, (e = 0, 1, ... , iV), si ponga 



n = ^7 



1+ Z iì + i)ni 



1=0 



Poiché G„g è un gruppo di misura m„Q, sarà possibile tro- 

 vare un gruppo finito ì^q di segmenti di (a, b), due a due distinti 

 (cioè tali che due qualunque di essi abbiano tutto al piìi un 

 estremo in comune) , e racchiudenti un sottogruppo r„o di G„g 

 di misura maggiore di )n„^ — t] , in modo che sia 



^(Lo) < ni„^ (2). 

 Allora sarà 



w„o — r]<m (r„J < m (Ho) < m„^ , 



ed i punti di i^o che non appartengono a G»^ formeranno un in- 

 sieme di misura minore di r\. Perciò i punti di Gn^ esterni ad 

 ogni segmento di Lo formeranno un gruppo di misura certa- 



(') Si ponga mente che la serie //Ih. ntu e costituita di termini tutti 



n=0 



maggiori ed uguali a zero. 



(^) Indico con w(In) If- misura di Zq- 



