SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 789 



Facciamo vedere che ogni punto di r„,. appartiene al nucleo (^) 

 di ii/. Sia t un punto di r„.; poiché r„. è un sottogruppo di G„., è 



Siccome si può determinare un intervallo (^o> ^i)> compren- 

 dente nel suo interno t, e tale che, dall'essere to^oi<t<^<t, 

 seguano le disuguaglianze 



s(S) - 2(a) 



'''^-M<e^, 



- At) < ei , 



dove Ci è un numero positivo piccolo a piacere, si può anche de- 

 terminare un intervallo (^o>^) tale che dall'essere tQ<a<i<^<ti 

 segua 



< («,+ 1)/. - Vl«'(OP+!y'WÌ'+!^'W(^ 



e quindi 





<;i. 



Perciò, per quanto piccolo sia (T, vi è sempre un intervallo 

 minore di 6, tutto contenuto in un intervallo di ii, e compren- 

 dente come punto interno, o come estremo, il punto i, per il 

 quale è verificata la (4). t, appartenendo così a tutti i li'io, 

 appartiene al nucleo di 2]/, 



Poiché, dunque, r„,. appartiene al nucleo di D/, la misura 

 di questo nucleo è maggiore od eguale a »M(r«J e quindi mag- 

 giore di m„f — {i -\- l)r\. D'altra parte tale misura è minore od 

 eguale a m{^i') < w(L() < m». — ir]. Possiamo quindi, per la pro- 



(') Il Vitali definisce come nucleo di un gruppo Z di segmenti di una 

 retta, il gruppo dei punti comuni a tutti i gruppi Z<j formati eoi segmenti 

 di I che sono minori di o, dove (J è un segmento piccolo a piacere. 



