SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 



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Poiché i segmenti che entrano nelle somme s, (t=0,l,..,iV') 

 sono, per quanto abbiamo già osservato, due a due distinti, 



è il Si < b — a, e quindi, a più forte ragione, è 



t=0 



X' 



ì: d,Si < b — a. 



È poi, per essere ?n„,. — {i -{- l)r] < Si < m„,. — in , 

 \Si — m„,\ <(i-!- 1)ti , 



e quindi 



Ma è 



onde, per la 



S' X' 



li [tiiSi — n.nin,- I < n ii (i + l)ni , 



»=0 1=0 



N' X> I X' 



S UiSi — ii niiUm I < nS (i -|- l)Wf . 



n S (t + i).i, <Ti(i + 2: (i + !)«.), 



t=0 \ t=0 / 



n = — xT- 



«=0 

 N' K' 



2i HiSi — Jl niìUni 



1=0 1=0 



< e. 



Dalla (5) si ha, perciò, 



1=0 >=0 



= /i L w,w„, + /i0e -f /ìG (ò — a) 



con |ei < 1, |e| < 1. 



E poiché, come già abbiamo osservato, gli intervalli (a,,-, p.y) 

 sono tutti distinti , il primo membro della (6) è minore della 

 lunghezza l della curva (1). Si ha, perciò, 



il £ fiinim < l -{- h{e -{- b — a) 



i=0 



-Y' 



h 1 niiHui < l -\- 2h{b — a) , 



