792 LEONIDA TONELLI 



giacché, essendo e minore del minore dei numeri nin,^, ...,m,„ , 



è e < ò — a. 



Per la (2) è quindi 



N 



h^n . nin < l -{- 2h{b — a). 



t=0 



N 



Dunque tutte le somme L n.Mn rimangono, per qualsiasi N, 

 minori del numero fisso l-\-2h{b — a). La funzione 



è, perciò, sommabile. Dall'essere poi 



J ^ h=0 n=0 



e 



hfin.m„<l-\-2h{b — a), 



t=0 



risulta 



f/ì^'{f)i'-\-ìy'{t)ì'-\-ìz'{t)i'dt 



<i 



Resta dunque dimostrato che 

 l'integrale 



//T^WlM=77W?TM0P dt , 



esteso al gruppo E dei punti di (a, b) ove le x'(t), y'(t), z'(t), esi- 

 stono e sono finite, esiste sempre ed è, in valore, minore od eguale 

 alla lunghezza della curva (1). — 



4. — Si introduca, ora, la condizione, per le x{t), y{t), z{t), 

 dell'assoluta continuità. Allora (n. 2), preso un numero (J mag- 

 giore di zero e piccolo a piacere, si potrà trovare un corrispon- 

 dente numero |ii, pure maggiore di zero, tale che si abbia 



(7) ^\x{^i)-x{a,)\<l 21l#.)-i/(a.)l<|, 2k(P.)-^(«.)l<-3 



