796 LEONIDA TONELLI 



Gli intervalli (a^, p,^), (a,., 3,.), costituiscono una divisione di 

 {a, b) in un numero finito d'intervalli, ciascuno di ampiezza mi- 

 nore di ò. Il primo membro della eguaglianza precedente diffe- 

 risce quindi, per le (8), da / per meno di (J. E, perciò, 



- ^ì 

 \l — h^n Mn I < 3cy, 



n=0 



essendo 



h{Qe-{-e{b—a))<h{e 4- b — a)<h2{b — a) 



e, per la 2^ delle (9), 



h{Qe-\-B{b — a))<0. 



Da questa disuguaglianza e dalla 3^ delle (9) si ricava 



]i-jJ)At)i' + \y'it)\' + {z'{t){dt |<4(j. 



Poiché (? è un numero piccolo a piacere, si ha 



1= fJwWTWW+TW'idt. 



Resta così dimostrato che 



Se le funzioni x(t), y(t), z(t), sono assolutamente continue^ la 

 lunghezza della curva (1) è data dall'integrale 



dove E è l'insieme dei punti di (a, b) nei quali le derivate x'(t), 

 y'(t), z'(t), esistono e sono finite. — 



5. — Data la curva continua rettificabile 

 (1) x = x[t), y = y{t), z=::^z{t) {a<t<b), 



supponiamo che le funzioni x{t), y[t), z{t), ammettano, in ogni 

 punto di (a, 6), un numero derivato (non necessariamente lo 

 stesso per tutte tre) finito. Poiché le funzioni x{t), y{t), z{t), per 



