SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 797 



quanto si è ricordato al n. 1, sono a variazione limitata, i nu- 

 meri derivati detti sono sommabili ed hanno per integrali inde- 

 finiti rispettivamente x{t), y{t), z{t) (^). Dunque x{t), y{t), z{t) sono 

 delle funzioni integrali. Ma condizione necessaria (ed anche suf- 

 ficiente) affinchè una funzione sia un integrale è che essa sia 

 assolutamente continua (-); perciò le x{t), ìj{t), 2{t) sono assolu- 

 tamente continue. Il risultato del numero precedente ci porta 

 dunque a concludere che 



Se una curva continua rettificabile 



x = x{t), y = y{t), z = z{t) {a<t<b) 



è tale che le x(t), y(t), z(t), ammettano ciascuna, in tutti i punti 

 di (a, b), un numero derivato (che può non essere lo stesso per tutte 

 tre) finito, la sua lunghezza è data dall'integrale 



j, ]'J^W^TWif)M^iWdt, 



dove E è l'insieme dei punti di (a, b) 7iei quali le deriviate x'(t), 

 y'(t), z'(t) esistono e sono finite. — 



6. — Dimostriamo ora che 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè la lunghezza l(t) 

 di una curva continua rettificabile 



x = xit), y = g{t), z = z{t) {a<t<b) 



sia una funzione assolutamente continua è che siano tali le tre fun- 

 zioni x(t), y(t), z(t). 



(^) Vedi H. Lebesgub. Lcqous sur l'integration, etc, pag. 123 (Paris, 1904). 



(^) Vedi G. Vitali, Sulle funzioni integrali, " Atti della R. Accad. delle 

 Scienze di Torino ,, voi. XL (1904-905); H. Lebksgue, Le^ons sur l'integration 

 (Paris, 1904), pag. 129 nota; Id., Sur la recherche des fonctions primitives 

 poitr l'integration, * Atti R. Acc. Lincei „, 1907. 



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