SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 799 



Da questa relazione si ottiene poi 

 vjF,(p,)-T;(a.)h 



' \ +L|n(p,)-F,(a,)(+2:|F.(6,)-F.(a,)|, 



L1F.(P,)-F,(a,)( ' 



dove le sommatorie sono estese ad un qualsiasi gruppo d'inter- 

 valli distinti di (a, b). 



Supponiamo, ora, che x{t), y{t), z{t), siano assolutamente con- 

 tinue. Prefissato un (T positivo e piccolo a piacere, potremo tro- 

 vare un |Li tale che siano verificate le tre disuguaglianze 



2:|F,(3,)-n(a,-)(<a, >: ; F,(8,)- F>,)( < a, v|F(«,)-K(a,)!«J, 



per ogni gruppo di intervalli (a,, 6,), due a due distinti, di (a, b) 

 avente una misura minore di |u. Per uno qualunque di tali gruppi 

 d'intervalli avremo perciò, per la seconda parte della (1), 



S)/(3,) — ^(aO(<3(y: 



dunque la l{f) è assolutamente continua. 



Supponiamo, invece, che sia assolutamente continua la Z(^). 

 Prefissato un a, si potrà trovare un \x. tale che sia 



2:.ì^(B,)-^(a,)|<a 



per ogni gruppo di intervalli (a,, 3,), due a due distinti, di (a, b) 

 avente una misura minore di \x.. Per uno qualunque di tali gruppi 

 d'interv^li avremo perciò, per la prima parte di (1), 



1)F,(8,)-F,(a,);<a, 2:;F,(B,)-F>,)!<^, i:iF(3,)-n(a,)(<(J: 



dunque le x(t), y[t), z[t), sono assolutamente continue. 

 La proposizione è così dimostrata, 



7. — Supponiamo che la lunghezza l{t) della curva con- 

 tinua rettificabile 



x=x{t), y = y{t), z = z[t) {a<t<b) 



