800 LEONIDA TONELLI — SULLA RETTIFICAZIONE DELLE CURVE 



sia data dall'integrale 



dove E è l'insieme dei punti di (a, t) in cui x'{t), y'{t), z'{t), esi- 

 stono e sono finite. l{t), essendo una funzione integrale, è (^) as- 

 solutamente continua. 



Ne segue, per la proposizione del n. 6, che sono assoluta- 

 mente continue anche le funzioni x{t), y{t), z{t). Dunque affinchè sia 



è necessario che le x(t), y(t), z(t), siano assolutamente continue. 



Questo risultato, unito a quello del n. 4, porta alla conclu- 

 sione seguente: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè la lunghezza l(t) 

 della curva continua rettificabile 



• x = x{t), y = y{t), z = z{t) {a<t<b) 



sia data da 



m = L f/T^WlM^FWP+T^W dt, 



dove E è l'insieme dei punti di (a, t) nei quali le derivate x'(t), 

 y'(t), z'(t), esistono e sono finite, è che le funzioni x(t), y(t), z(t), 

 siano assolutamente continue. — 



(') Vedi G. Vitali, loc. cit. e H. Lebesgue, loc. cit. 



