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condizione necessaria e sufficiente perchè coincidano i due sistemi 

 lineari segnati su a dalle O, per C e dalle <t>i per G. 



La condizione è certo soddisfatta se le Oj per C segnano 

 su a un sistema completo, che allora quello segnato dalle O; per 

 G, dovendo manifestamente comprenderlo, coincide con esso. 



Pisa, 10 maggio 1908. 



IL 



(Lettera del Prof. F. Severi al Prof. E. Bertini). 



1. — A complemento di quanto Ella espone nella Sua let- 

 tera, osserverò che si può rispondere affermativamente alla 

 questione da Lei posta, di sapere cioè se le ipersuperficie d'or- 

 dine abbastanza alto aggiunte — nel senso di Castelnuovo — 

 ad una curva C di 8,., e passanti per la curva C ulteriormente 

 comune ad r — 1 ipersuperficie condotte genericamente per C', 

 seghino sulla C medesima una serie lineare completa (fuori delle 

 intersezioni fisse). 



A tal uopo dimostrerò questa proposizione più generale: 



Se le ipersuperfìcie d'ordine assai alto passanti per un dato 

 gruppo base A — che può esser formato da punti, curve, super- 

 ficie,.., con assegnati comportamenti lungo ciascuna di esse — se- 

 gnano sopra G; fìforì delle eventuali intersezioni fisse, una serie 

 lineare completa, lo stesso accade per le ipersuperficie d'ordine assai 

 elevato che passano pel gruppo base A -}- B, ove B è un altro gruppo 

 base arbitrario (*). 



Alla dimostrazione di tale proprietà si adatta benissimo il 

 ragionamento che ho altrove esposto per le curve gobbe (**). 



Giova per brevità e chiarezza, d'introdurre in questo caso 

 generale, il concetto di molteplicità d'intersezione, in un punto co- 

 mune ad una curva C e ad un gruppo base. S'intenderà con ciò 



(*) I due gruppi base A, B potranno ben presentare delle condizioni 

 comuni: è appena necessario avvertire che le ipersuperfìcie per ^ -r -B do- 

 vranno soddisfare doppiamente ad esse: una volta in quanto passano per A 

 e un'altra volta in quanto passano per B. 



(**) Sul teorema di Riemann-Roch e sulle serie continue di curve..., " Atti 

 della R. Aoc. di Torino ,, t. 40, 1905, n. 3. 



