GINO FANO — SOPRA ALCUNE VARIETÀ ALGEBRICHE, ECC. 973 



Sopra alcune varietà algebriche a tre dimensioni 

 aventi tutti i generi nulli. 



Nota di GINO FANO. 



1. — È noto da tempo (Clebsch) che le curve algebriche 

 di genere zero sono tutte razionali (e viceversa). E per una 

 superficie algebrica è stato dimostrato dal Sig. Castelnuovo (^) 

 che condizione necessaria e sufficiente perchè essa sia razionale, 

 cioè rappresentabile sul piano, è che siano nulli il suo genere 

 numerico {p,,) e il bigenere (P2); nel qual caso sono pure nulli, 

 in conseguenza, il genere geometrico (pj) e tutti gli altri pluri- 

 generi. 



Invece per le varietà algebriche a tre dimensioni l'annul- 

 larsi di tutti i generi (analoghi ai precedenti) non è ancora 

 condizione sufficiente perchè esse possano rappresentarsi biuni- 

 vocamente sullo spazio ò'g ; e scopo di questa breve Nota è ap- 

 punto di assodare l'esistenza — che si presenta per la prima 

 volta nel caso di varietà a tre dimensioni — di tipi hirazional- 

 mente distinti di varietà aventi tutti i generi tmlli. Hanno infatti 

 tutti i generi nulli tanto la varietà generale del 4° ordine (F*) 

 dello spazio /S4, quanto la varietà 311 di S^ intersezione generale 

 di una quadrica e di una varietà cubica di quest'ultimo spazio ; 

 poiché sono entrambe varietà regolari (aventi nulle tutte due 

 le irregolarità {^)), e su ciascuna di esse il sistema lineare di 

 superficie (J"" rispett. F'"') segato dalle varietà di un ordine 

 qualunque n{22) ha per sistema t-aggiunto quello segato dalle 



(0 Le superficie di genere zero, * Mem. della Soc. Tt. delle Scienze ,, (3), 

 voi. 10 (1896). 



(-') F. Skveki, Alcune proprietà fondamentali per la geometria sulle varietà 

 algebriche, " Kend. Acc. dei Lincei „, (5), voi. 16, 2" sem. (1907), p. 337. 



