974 GIXO FANO 



varietà di ordine i{n — 1), il quale non contiene mai il sistema 

 iP'" del precedente (ma anzi vi è parzialmente contenuto). Con 

 tutto ciò queste due varietà (F-* di S^, e M^ di /S5), che noi 

 supporremo prive di punti doppi, non si possono rappresentare 

 (come faremo vedere) sullo spazio S^; e di qui risulterà la 

 prova di quanto sopra abbiamo affermato. 



Le stesse considerazioni si potrebbero estendere facilmente 

 alla varietà di 8° ordine intersezione generale di tre quadriche 

 dello spazio S^, e, probabilmente, alle eventuali varietà analoghe 

 di spazi superiori (corrispondenti al tipo generale ]\If~' di Sp+i, 

 con curve canoniche di genere p come sezioni). 



Si osservi infine che la varietà M'I di S^ della quale ci oc- 

 cuperemo, se contenuta in una quadrica non degenere, è imma- 

 gine del coìnplesso di rette generale del 3° ordine dello spazio 

 ordinario; risulterà perciò anche stabilita l'impossibilità di rap- 

 presentare questo complesso sullo spazio -S'3. 



2. — Si abbia, se possibile, sopra una F^ di S^^ priva di 

 punti doppi un sistema omaloidico di superficie (f). Queste su- 

 perficie saranno necessariamente intersezioni complete (i^^") di V'^ 

 con altre varietà a tre dimensioni, di un certo ordine n (^). 



Il sistema omaloidico f determinerà una rappresentazione 

 di V^ sullo spazio /S,, nella quale alle sezioni iperpiane di F* 

 corrisponderanno superficie di un sistema lineare 00* (Z). A 

 ogni curva base C di quest'ultimo sistema corrisponderà gene- 

 ralmente sopra F^ una superficie luogo di oo^ curve t, fonda- 

 mentali per il sistema omaloidico f ; e una tal superficie si può 

 supporre esistente senza scapito di generalità, perchè, se non 

 vi fosse, basterebbe prendere in S^ un sistema omaloidico A che 

 sia esso stesso dotato di una 00 ^ di curve fondamentali ò non 

 aventi posizioni particolari rispetto agli elementi basi di Z {^), 

 e sostituire a f quell'altro sistema omaloidico sopra F* che 

 corrisponde a A nella stessa rappresentazione spaziale di F* 

 già stabilita. 



(') F. Severi, Una 2)>'oprietà delle forme algebriche prive di punti multipli, 

 " Rend. Acc. dei Lincei ,, (5), voi. 15, 2° sem. (1906), p. 691. 



(^) Pex' es., il sistema delle quadriche aventi a comune una conica e un 

 punto fuori di questa conica. 



