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Per ogni punto base isolato (P'°) del sistema P si indichi 

 con 11 la multiplicità (> 0) ch'esso ha per una r generica. Di 

 più, questa T incontrerà le curve basi del sistema V in un nu- 

 mero complessivo i di punti, semplici per essa, e che per la 

 F^" avranno certe multiplicità k' (saranno cioè punti di linee A;''''*'). 

 Dovendo da tali punti (che potranno in parte essere infinita- 

 mente vicini tra loro) risultare assorbite tutte le intersezioni 

 delle F" seganti le i^'" colle curve r, delle quali indicheremo 

 con V l'ordine, si avrà la relazione : 



(1) IM -^I-k' — V .n 



dove la seconda somma si compone di ì termini. 



4. — Faremo vedere ora che, nella relazione precedente, 

 le k sono certamente tutte <2w, e le k! sono tutte <n; ossia 

 che il sistema omaloidico V di superficie jP"*", supposto esistente, 

 non può avere ne punti di multiplicità > 2w, ne linee di multi- 

 plicità > n. 



Infatti la superficie di ordine 4w intersezione generale di F* 

 con una varietà F" è di genere (georn" = num^) eguale al nu- 

 mero delle i^''^'"-^' linearmente indipendenti contenute in F^ (le 

 quali sono le sue " aggiunte „); onde: 



p=rr)-("7')=4(;')+«(»+i)-i. 



Ora un punto (2w+1)p'° isolato abbasserebbe il genere nu- 

 merico della F^" di | "7" 1 unità (^); e questo numero, come 



immediatamente si verifica, è eguale al precedente per n = \, 

 ma lo supera per n > \. Il genere numerico della i^^" divente- 

 rebbe dunque negativo, rendendo così impossibile l'esistenza di 

 sistemi omaloidici. 



(') Infatti questo punto dovrebbe essere (2m — 1)p'° per le F^'"~^' ag- 

 giunte; e le varietà di ordine n — \ che segnano sopra F* queste aggiunte 

 dovrebbero perciò avere ivi con F* un contatto per il quale si richiedono 



appuntt) 1 I condizioni. 



