SOPKA ALCUNE VARIETÀ AJ.GEBKICHE, ECC. 977 



Quanto al caso w=l, è evidente che con sezioni iperpiane 

 di V^ si potrebbe formare un sistema omaloidico soltanto so V^ 

 avesse un punto triplo. 



Veniamo alle linee multiple. Una linea base A-'''" del si- 

 stema r, la quale sia di ordine H, conta nell' intersezione di 

 due F*", che è di ordine 4;r, come parte "di multiplicità k'-, e 

 perciò di ordine E . k'^. Perciò, se una k' fosse > n, l'ordine 5 

 della relativa linea sarebbe < 4, ossia < 3 ; non potrebbe dunque 

 trattarsi che di una retta, di una conica, oppuie di una cubica 

 piana o sghemba. 



Questa linea multipla (almeno {n -\- ly^^) non può essere 

 una retta; perchè gli qo2 piani di /S^ passanti per questa retta 

 incontrerebbero ulteriormente I^"^ secondo cubiche^ ognuna delle 

 quali nei tre punti che ha a comune con quella retta avrebbe 

 già raccolte, complessivamente, almeno 3{n -j- 1) delle sue in- 

 tersezioni colle V" seganti le superficie del sistema f; sicché 

 queste F" dovrebbero contenere per intero tutte quelle cubiche, 

 e quindi la V^. 



La linea multipla non può nemmeno essere una conica, 

 perchè le quadriche di S.^ passanti per questa conica seghereb- 

 bero ulteriormente V^ secondo sestiche di genere 4 aventi colla 

 conica 6 punti a comune; e per queste sestiche varrebbero con- 

 siderazioni analoghe alle precedenti. 



La linea multipla non può essere una cubica sghemba, 

 perchè le co^ quadriche del suo 5^3 che passano per essa (e che 

 non hanno altri punti fissi a comune) incontrerebbero ulterior- 

 mente F', ossia la superficie, certo irriducibile (^), sua sezione 

 con quello stesso S^, secondo curve del 5" ordine e genere 2 

 aventi colla cubica 8 punti a comune : sicché le F^" del si- 

 stema r dovrebbero contenere tutte queste ultime curve, e perciò 

 anche la superficie anzidetta, sezione iperpiana di F*. 



Infine la linea multipla non può nemmeno essere una cubica 

 piana, perchè una qualsiasi sezione iperpiana F^ passante per 

 quella cubica verrebbe incontrata dalle solite F" secondo curve 

 di ordine in contenenti la cubica come parte {n -(- Ip'* ; e ciò 



(') Una varietà F* con una sezione iperpiana riducibile, e perciò o spez- 

 iata in due quadriche, oppure contenente un piano, ha certo qualche punto 

 doppio sulla linea intersezione delle due quadriche o rispett. sul piano. 



