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è manifestamente impossibile, perchè una tal curva di ordine hi, 

 quando contenesse la cubica contata n volte, dovrebbe avere 

 come parte residua la retta di F^ situata nel medesimo piano^ 

 contata pure n volte. 



Tutto queste curve di ordine < 3 si sono supposte irriduci- 

 bili, perchè se no si sarebbe potuto ragionare analogamente 

 sopra una qualunque loro parte. 



Essendo pertanto nella relazione (1) ogni k^2n , e ogni 

 k' < n, sarà pure : 



I.hk -j- Th' = v.n'^2n.Th-\-n.i 

 e quindi : 



(2) 2I.h + i > V. 



5. — D'altra parte, nella rappresentazione di F* sullo 

 spazio (§3 determinata dal sistema omaloidico f, alle sezioni 

 iperpiane di F^ devono corrispondere in 5^3 superficie cp rego- 

 lari di genere uno; alle ooi curve fondamentali t di ordine v 

 corrisponderanno i punti di una curva C, che sarà curva base 

 yP'* per il sistema lineare oo* delle cp; ai punti basi isolati del 

 sistema omaloidico f, h^^' per le curve t, corrisponderanno in -S'3 

 superficie fondamentali del sistema |cp| passanti per C colla 

 multiplicità h; e ad ogni linea base del sistema f la quale si 

 appoggi alle y in a punti {I.a = i; cfr. N° 3) — che saranno 

 tutti semplici per queste ultime curve — corrisponderà una su- 

 perficie luogo di linee fondamentali e avente C come linea a^'*. 

 Queste due categorie di superficie, le prime contate due volte, 

 le seconde semplicemente, devono formare insieme l'unica su- 

 perficie aggiunta del sistema lineare |<p| (^); e poiché questa 

 superficie complessiva deve avere C come curva multipla di or- 

 dine V — 1 (2), così sarà : 

 (8) 2I/t + Za = 2I/? + i = v — 1. 



C) M. Pannelli, Sopra gli invarianti di una varietà algebrica a tre di- 

 mensioni . . ., " Rend. Acc. dei Lincei ,, (5), voi. 15, 1° sem. (1906), p. 620-21). 

 Per la proprietà analoga delle superficie cfr.: Enriques, Intorno ai fonda- 

 menti della geometria sopra le superfìcie algebriche , " Atti della R. Acc. di 

 Torino „, voi. 37 (1901); n° 21. 



(^) E non maggiore. La multiplicità di C per le cp sarebbe maggiore 

 soltanto quando la curva C fosse eccezionale per le cp ; il che qui non può 

 avvenire, perchè alle superficie cp corrispondono le F*, sezioni iperpiane 

 di F*, e alla curva C comune alle 9 corrisponde una curva sopra ognuna 

 di queste F'*, le quali sono notoriamente prive di curve eccezionali. 



