SOPRA ALCUNE VAKIETÀ ALGEBRICHE, ECC. 979 



Questa relazione sussiste anche se fra i punti basi del nostro 

 sistema omaloidico appartenenti a una linea t ve ne sono di 

 infinitamente vicini. In tal caso alcune fra le superficie fonda- 

 mentali luoghi di linee fondamentali del sistema |qp| in S^ 

 diventano infinitamente vicine ad altre, oppure a parti di queste 

 altre; ma esse entrano egualmente come componenti autonome 

 nell'unica superficie aggiunta. 



Essendo la relazione (3) manifestamente incompatibile 

 colla (2), sarà assurda l'ipotesi fatta dell'esistenza sopra F* di 

 un sistema omaloidico di superficie ; il che appunto si voleva 

 dimostrare. 



La relazione 2Z/i -{-i = v — 1 è^ più generalmente, una 

 condizione necessaria perchè le curve f di ordine v da noi con- 

 siderate possano mutarsi, per trasformazione birazionale, in 

 punti semplici di un'altra varietà. E mi riservo di mostrarlo 

 in altro lavoro, con un ragionamento piti lungo, ma che si ad- 

 dentra maggiormente nella questione. Da queste considerazioni 

 ulteriori risulterà provato altresì che la F* priva di punti doppi 

 e la il/3 di .S^5, della quale passiamo adesso ad occuparci; sono 

 birazionalmente distinte anche tra loro. 



6. — La varietà Mt di S^, intersezione generale di una 

 quadrica (Q) con una varietà cubica {Vi), contiene anch'essa 

 soltanto superficie (di ordine 6n) sue intersezioni complete con 

 varietà di ordine n. 



Cominciamo col dimostrare, mediante un'opportuna enume- 

 razione di costanti, che la superficie F'^, sezione iperpiana ge- 

 nerica della Ms anzidetta e perciò intersezione generale di una 

 quadrica e di una T^^ di ^4, non contiene altre curve all'infuori 

 di quelle di ordine 6n, sue intersezioni complete con varietà V" 

 di Sj. 



Si abbia infatti sopra una tale F^ una curva irriducibile 

 Cp. Possiamo supporre che il sistema lineare | C\ individuato 

 da questa curva non contenga (parzialmente) il sistema I r| | 

 delle sezioni iperpiane di F*'; perchè se no si potrebbe sosti- 

 tuire a Cp la curva generica del sistema lineare ottenuto sot- 

 traendo da I C\ il sistema | n | il maggior numero di volte 

 })Ossibile. (E se Cp non è intersezione completa, queste operazioni 

 condurranno certo a un sistema, almeno a una curva effet- 



