982 GINO FANO 



drico-inviluppo degli S^ tangenti a F4. Ognuno di quegli S^ 

 sega MI (oltre che in a) secondo una C^ avente nel suo punto 

 di contatto un punto triplo, e che è la curva fondamentale cor- 

 rispondente a questo punto di contatto nella /g- Luogo di queste 

 oci curve C^ è la superficie F^'^, intersezione di MI col cono 

 cubico |u ; e la retta a, essendo tripla per il cono ili e per di 

 piìi linea di contatto di esso con MI, sarà quadrupla per 7''^"*. 



Alle 00 1 rette di Mi corrispondono nella Jg quartiche ra- 

 zionali; perciò alle sezioni iperpiane F*" (che incontrano queste 

 quartiche in 4 punti) corrisponderanno superficie F^^, segate da 

 varietà VI, aventi a come retta quintupla e la F^^ suddetta 

 come (unica) superficie aggiunta. 



Più generalmente, alle superficie jP^'" ^^ M^ . F" corrispon- 

 deranno superficie di ordine 24n, segate da varietà F^" e aventi a 

 come retta (5??)^'\ Quando però la F"" abbia essa stessa a 

 come retta F^'\ dalla superficie corrispondente si staccherà la 

 F^^ contata k volte, e rimarrà soltanto una superficie di or- 

 dine 6(4w — 3A-) con a come multipla di ordine hn — ik. E 

 pertanto, se k > n, questa nuova superficie sarà di ordine 

 6ìt' < 6«, e avrà a come multipla dì ordine < n' . 



Sulla Mi esistono dunque sistemi lineari di superficie F^" 

 aventi rette multiple di ordine > n ; ma le involuzioni I^ esi- 

 stenti sulla varietà permettono sempre di trasformare birazio- 

 nal mente ogni sistema così fatto in un altro di ordine inferiore 

 e pel quale nessuna retta abbia multiplicità superiore al nuovo 

 valore di n. 



8. — L'impossibilità dell'esistenza sulla MI di un sistema 

 omaloidico di superficie {F'^'") si può stabilire colle stesse con- 

 siderazioni già svolte ai N' 2-5 per la V^ di 84^, fra le quali 

 soltanto quelle del N° 4 vanno leggermente modificate. 



Il genere (geom° = num°) della F''" intersezione generale 

 di MI con una varietà F" è dato dal numero delle i/""^*"~^' linear- 

 mente indipendenti esistenti sulla ÌI/3, e perciò dalla stessa po- 

 stulazione di quest'ultima varietà rispetto alle F"~\ Si ha 

 quindi (^): 



(n + 4\ (n + 2\ [n 4- 1\ , (n — V 



(') F. Severi, Su alcune questioni di 2>ostulazione, n" 1. 



