SOPRA ALCUNE VARIETÀ ALGEBMCHE, ECC. 9B'S 



E anclie questo numero (che si riduce a n^ '— n^ 



+ -2"^^ — 1) è superiore, per w > 1, alla diminuzione ( " 1 



che sarebbe portata nel genere da un punto {'2)1 -\- Vf" \ e la 

 eguaglia per n ■= \. D'altra parte, se la MI è priva di punti 

 multipli, con sue sezioni iperpiane non si possono certo for- 

 mare sistemi omaloidici. 



L'eventuale sistema omaloidico non può dunque avere punti 

 basi di multiplicità > 2n. 



Dico, similmente, che le eventuali curve multiple di questo 

 sistema si possono ritenere tutte di multiplicità < n. Infatti una 

 curva di multiplicità <m dovrebbe essere (cfr. N** 4) di ordine 

 certo inferiore a 6 , dunque < 5 ; e si può anche supporre 

 (cfr. N° 7) che non sia una retta. L'ordine dovrebbe dunque 

 essere eguale a uno dei numeri 2, 3, 4, 5. 



Non vi può essere una conica [n -\- l)'''", perchè gli spazi Sg 

 passanti per il suo piano incontrerebbero ulteriormente M] se- 

 condo quartiche aventi colla conica 4 punti a comune , e che 

 avrebbero perciò in questi punti colle F" seganti le F''"' già più 

 intersezioni di quanto comportano i loro ordini. 



Se ci fosse una cubica piana [n -\- lY^, si potrebbe appli- 

 care questo stesso ragionamento alle altre cubiche segate dagli 

 spazi /S3 passanti per la prima. 



Supponiamo adesso ciie vi sia una curva (« -|- 1)^''' irridu- 

 cibile di ordine 3, 4 5 appartenente a uno spazio *%, Per 

 questo S^ passa un fascio di S^ incontranti MI secondo super- 

 fìcie F'^; e sopra queste F'^ le F^" devono segare curve appar- 

 tenenti al sistema «■'° delle sezioni iperpiane. Ora, sopra una 

 di queste F^^ una curva di ordine < 6 e appartenente a S^ ha 

 certo per residua rispetto al sistema delle sezioni iperpiane una 

 curva unica, isolata (di ordine 8, 2, 1) ; perciò, rispetto al si- 

 stema lineare «'''° del precedente, la prima contata n volte non 

 può avere per residua che la seconda contata pure n volte; e 

 nessuna curva del sistema n^''' può quindi contenere la prima 

 parte contata n -\- \ volta. 



Una curva (n -\- 1)^'* irriducibile appartenente a uno spazio ^4 

 non potrebbe essere che una quartica razionale normale, op- 

 pure una quintica, ellittica razionale. Per questa curva pas- 



