984 GINO FANO — SOPRA ALCUXE VARIETÀ ALGEBRICHE, ECC. 



serebbero in ogni caso, nello stesso spazio 5^4, delle quadriche 

 non contenenti la F'"' intersezione di M^ collo spazio medesimo; 

 e queste quadriche incontrerebbero ulteriormente la F^ suddetta 

 secondo curve di ordine 8 o 7 (e di genere rispettivamente 4, 3, 2) 

 aventi colla prima curva rispettivamente 10, 10 e 12 punti a 

 comune. Queste ultime curve avrebbero pertanto colle V" se- 

 ganti le F^" un numero di intersezioni superiore al prodotto dei 

 loro ordini. 



Infine una curva razionale normale di 5" ordine esistente 

 sulla .¥3 appartiene a 00^ quadriche di S^ : perciò a un sistema 

 lineare oo^ di quadriche delle quali nessuna contiene la MI. 

 L'intersezione ulteriore della M'ì con due di queste quadriche 

 è una curva di ordine 19 (e genere 21) avente colla quintica 

 17 punti a comune. Le due quadriche si possono però obbli- 

 gare a passare ancora, p. es., per una conica della MI (certo 

 esistente) che non incontri affatto la quintica; e l'intersezione 

 residua è allora una curva di ordine 17 avente colla quintica 

 pure 17 punti a comune. Così si vede che una V" la quale se- 

 gasse MI secondo superficie aventi la quintica come curva 

 (n + 1)P'* dovrebbe contenere tutte queste ultime curve (di or- 

 dine 17), e perciò l'intera M^. 



Queste osservazioni permettono di concludere, analoga- 

 mente a quanto si è fatto per la V^, che anche sulla MI non 

 esistono sistemi omaloidici di superficie, e che perciò la M3 

 stessa non è rappresentabile sullo spazio S3. 



Torino, maggio 1908. 



