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veremo, insieme con altre che ci daranno delle semplici costru- 

 zioni per le superficie stesse, sia nel caso generale, sia in certi 

 casi particolari notevoli (*). 



2. Conviene premettere qualche considerazione su certi in- 

 teressanti sistemi cc^ di curve nello spazio. 

 Prendiamo le equazioni 



(2) Xi = f,{u) + K, (i=:l, ...4) 



in cui le fi (u) indicano (e indicheranno anche in seguito) date 

 funzioni, monodrome continue e finite, colle loro prime deri- 

 vate, in un dato campo di variabilità per w ; colla condizione 

 che ad un gruppo di valori dei rapporti delle fi (u) non corri- 

 sponda in generale più di un valore di u in quel campo. 



Per un dato gruppo di valori delle 4 quantità X/, le (2) 

 rappresentano una determinata curva descritta dal punto x al 

 variare di u. Mutando poi quei valori X, , questa curva varierà 

 in un certo sistema Z di curve, riferite fra loro biunivocamente, 

 se chiamiamo omologhi quei punti di esse che corrispondono allo 

 stesso valor di it. 



Le tangenti alle curve di Z in punti omologhi w concorrono 

 tutte in un punto della linea fissa 



(3) x/=f/{u). 



La corrispondenza tra i punti di due curve qualunque di Z 

 ha carattere geometrico molto elementare. Siano le curve 



Xi = fi [il] -{- a,; 



yi = fi (w) + ^i • 



Si ha, per punti omologhi x, y: 



^i — yi = «/ — ^i ; 



sicché le coppie di punti omologhi sono allineate con un punto 

 fisso. Le due curve sono su uno stesso cono. Diremo per bre- 

 vità che sono prospettive (in senso lato). 



(*) Veggasi pure la costruzione data dal Darboux (loc. cit., pag. 126) 

 delle superficie duali: cioè come inviluppi dei piani radicali di due sfere 

 tolte ad arbitrio entro due dati sistemi semplicemente infiniti. 



