SULLA GENERAZIONE DELLE SUPEi:FICIE, ECC. 987 



Viceversa ogni cono che projetta una curva di Z ne con- 

 tiene infinite. Se la curva data è la (2) e il punto ha le coor- 

 dinate /},, quelle infinite curve di Z saranno rappresentate da 



ove p si faccia variare (*). — 



E facile vedere che il sistema T è go'^, cioè che le 4 quan- 

 tità \, rappresentano per esso dei parametri essenziali, se si 

 toglie il caso che tutte le linee di Z siano l'ette (**). E noi nel se- 

 guito escluderemo appunto questo caso, che non presenta inte- 

 resse pel nostro scopo. 



3. Per determinare un sistema Z siffatto di curve si pos- 

 sono dare ad arbitrio, come appartenenti ad esso, due curve 



(*) Le equazioni 



Xi = qp/(«) + ^m>{it)j 



ove (p/(«) e ^{u) sono polinomi di grado n, rappresentano un particolare 

 sistema Z, le cui curve sono algebriche, d'ordine n (in generale), e passan 

 tutte per certi n punti corrispondenti a quei valori di u che annullano y\){t(ì. 



(**) Possiamo dimostrare ciò, ad esempio, ricorrendo per un istante ailo 

 spazio a 4 dimensioni, in cui Xi, ... Xi s'interpretino come coordinate car- 

 tesiane non omogenee di punto, e si consideri come proiezione di questo 

 punto dall'origine 0, sullo spazio ordinario, il punto che ha in questo come 

 coordinate projettive omogenee le xi. Allora le (2), al variar delle X, rappre- 

 sentano in Si un sistema di curve deducibili da una qualunque di esse col- 

 l'applicarle tutte le oo* traslazioni di questo spazio. Esse saranno oo*, se non 

 avviene che quella curva ammetta una infinità continua di traslazioni in 

 se, ossia se non è una retta. Ne deriva che anche le curve projezioni di 

 quelle oo* sullo S3 saranno 00*, se non sono rette. Perchè allora ognuna di 

 esse è progettata da mediante un cono, che non è un piano, ne un ci- 

 lindro; e un tal cono non può contenere un'infinità continua di curve del 

 sistema 00* di Si,, cioè non può essere una superficie di traslazione. — 



Per determinare quale forma devon avere le funzioni /",(«) perchè tutte 

 le linee (2) di Z siano rette, cominciamo a osservare che la curva partico- 

 lare Xi = fi{ti) sai'à una retta (quella dei due punti a, 3) solo quando sia 

 fì{u) = a,qp(H) + PiV(a). Dopo ciò, una curva qualunque (2) starà nel piano 

 dei punti a 3 X , ed i suoi punti avranno entro quel piano le coordinate : <p(u), 

 \\iin) e 1. Affinchè si riduca ad una retta si dovrà avere fra queste un'equa- 

 zione lineare. Risulta così : 



fiiu) = tM«) + «i. 

 11 sistema Z che in tal modo si ottiene è in fatti una stella di rette. 

 Atti della li. Accademia — Voi. XLill. 67 



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