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prospettive: per esempio una linea qp, {u), e sul cono che la pro- 

 getta dal punto (p,) un'altra curva arbitraria qp, (m) -\-\^ [u) . pi . 

 Dopo ciò, ponendo fi = qp, : v|j, le formole (2) rappresenteranno 

 un sistema 1. contenente le due linee date. 



La costruzione geometrica di T si potrà fare così. Siano C 

 e 1) le due curve date prospettive (n. 2) rispetto al punto p. 

 Ogni altra curva X di Z dovrà essere con C in un certo cono 

 (a), e con D in un certo cono (è). I vertici p a b, dovendo stare 

 su tutti i piani delle terne di punti omologhi delle tre curve, 

 saranno allineati. Dunque: si prendano ad arbitrio due punti 

 a, b allineati con p; e per ogni coppia di punti omologhi e, d 

 di (7, D si determini il punto x d'intersezione delle rette a e, 

 b d. Il luogo di X sarà una curva del sistema Z. E tutte le curve 

 di questo si otterranno mutando in tutti i modi possibili la 

 coppia di punti ab (*). 



Se due curve di Z sono piane, ma in piani diversi, tutte le 

 curve di Z staranno nei piani di un fascio. Ciò risulta subito 

 analiticamente ; od anche dalla precedente costruzione geome- 



(*) Ne segue facilmente la costruzione di quelle curve di Z che soddi- 

 sfano a certe condizioni: per esempio che passano per due punti dati ad 

 arbitrio. Si consideri la curva in cui si segano ulteriormente i coni che da 

 questi due punti projettano C, e poi la curva dedotta analogamente da D. 

 l punti a, b dovranno stare sulle due nuove curve, ed essere allineati con p. 



Si avverta però che la costruzione evidentemente sarà impossibile in 

 generale, se le curve di Z sono nei piani di un fascio, com'è detto alla 

 fine di questo n. 3 : in fatti allora i due punti dati dovrebbero stare in un 

 piano di quel fascio. 



In generale diciamo nn, m le coordinate dei due punti dati; e poniamo 

 che per essi passi la curva (2) di Z. Avremo : 



pnii ■= fi{u) + ^i , f^m = M^') + h , 

 donde : 



pmi — an; = fi{u) — fi{v). 



Se, al variare di u e v, il luogo F dei punti fi{u)^fi{v) e una superficie, 

 esisterà in generale una linea di Z passante pei punti dati m, n: giacche 

 quella superficie sarà incontrata dalla retta di questi in qualche punto, le 

 cui coordinate ci permetteranno di scrivere l'ultima uguaglianza; e questa 

 rende possibili le precedenti per uno stesso sistema di valori delle X,:. — 

 Invece non esisterà in generale una linea di Z passante per in, n, se il 

 detto luogo F si riduce ad una linea: il che accade, come vedremo (n. 9), 

 solo quando le curve di Z sono piane. 



