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5. Come si vede, quei due sistemi oo ^ di curve, che pos- 

 siamo chiamare caratteristici per la superficie P, fan parte risp, 

 del sistema Z di curve 



(4) fi{>() + K, 



e di un analogo sistema Z^ rappresentato da 



(5) gi{v)^^i. 



Diremo direttrici della superfìcie (1) le linee di questi due 

 sistemi X, Z^. E chiameremo associate due particolari direttrici,. 

 (4) e (5), quando per esse si ha 



(6) X, + M, = 0. (i = l,...4) 



Rileviamo allora due proprietà di questa corrispondenza: 1° A 

 due direttrici (X, = a,^ p,) di Z sono sempre associate due diret- 

 trici di Zi tali che il cono su cui stanno queste (n. 2) ed il cono 

 di quelle hanno lo stesso vertice (a, — 3/)- — 2° La retta che 

 unisce i punti u, v di due direttrici associate passa pel punto 

 (m, v) della superficie (1). 



Allora si ritrova la costruzione delle superficie P data pre- 

 cedentemente. Si prendono in Z due curve qualunque C, D, 

 in Zi le loro associate A, B \ ogni retta appoggiata ad yl, (7 in 

 due punti; e la retta che unisce i punti di B, D omologhi a 

 questi s'incontreranno in un punto della superficie P. 



6. Dai n' 3 e 4 segue che : Esiste in generale una super- 

 ficie P, la quale passa per cinque linee, di cui tre L, M, N sono 

 assegnate ad arbitrio, mentre le altre due C, D (non. rette) giac- 

 ciono in uno stesso cono, e si appoggiano alle prime tre. Anzi, si 

 può imporre alla superficie di avere C e D per linee caratteristiche 

 di uno stesso sistema. 



In fatti, dando questo significato alle curve C, D, riesce 

 determinato da esse (n. 3) il sistema co ^ Z, entro cui stanno 

 quelle oo^ caratteristiche. E appunto per fissare questa ooi di 

 curve, che genera la superficie P, si prenderanno quelle curve 

 di Z che incontrano L, M, N. 



Facendo coincidere due di queste ultime linee, o tutte tre, 



