SULLA GENERAZIONE DELLE SUPEKFICIE, ECC. 991 



si ottengono per la superficie P condizioni di contatto od oscu- 

 lazione lungo una data linea; quali si presentano nell' integra- 

 zione delle equazioni alle derivate parziali. 



7. Ad una superficie P, rappresentata dalle (1), sono legate 

 in generale due superficie P speciali (*), cioè i luoghi dei ver- 

 tici dei coni congiungenti a due a due le curve caratteristiche 

 di uno stesso sistema. 



Così le due curve della data superficie, corrispondenti a 

 valori fissati u, u^, del 1° parametro, stanno nel cono di 

 vertice 



(7) A 00 -/•<(«!)• 



Questo punto, al variar di quelle due curve, cioè di u e Wi, ge- 

 nera un luogo F, che sarà in generale una superficie della nostra 

 classe P {**). 



Analogamente dalle curve v = cost. nasce l'altro luogo G 

 dei punti 



(8) 9i{v)—9i{vi), 



che sarà pure in generale una superficie P. 



Prendendo Uy vicinissima ad u si vede che F conterrà la 

 curva f;' (m) luogo dei vertici dei coni circoscritti alla superficie 

 data lungo le linee u. Similmente per G. 



8. Quando una superficie F appartiene al tipo speciale (7) 

 od (8) di superficie P, ossia si può rappresentare così 



(9) !/i^fdtiì-fd^), 



(*) Di esse ha già fatto parola il Voss, loc. cit. 



(**) Citiamo subito un caso in cui F non è una sujyerficie: quando le fi{u) 

 son polinomi di 1° o 2° grado 



/•/(») = rt; «' + è/ w + e-/. 



Allora le espressioni (7), tolto il divisor comune u — u^, diventano 



Oi(u -\- ui) -\- hr, 



sicché son le coordinate di un punto mobile su una retta- V. una proposi- 

 zione generale al n. 9. 



