SULLA GENERAZIONE DELLE SUPERFICIE, ECC. 993 



teristica ha sempre il vertice su questa, cioè nel punto di con- 

 tatto coll'asintotica suddetta (*). 



9. Se il luogo F rappresentato dalle (9) si riduce a una 

 linea, questa dovrà pur essere incontrata da tutte le corde di 

 una qualunque curva di Z. Ne segue subito che questa curva 

 sarà piana (**) e che F starà nel suo piano. Quindi F, giacendo 

 nei piani di tutte le curve di Z, sarà la retta asse di questo 

 fascio di piani (cfr. la fine del n. 3). 



Viceversa se le curve di Z sono piane, il luogo F (compo- 

 nendosi di punti comuni alle corde di quelle due curve) si ri- 

 durrà ad una retta. 



Possiamo facilmente determinare la forma che devono avere 

 le funzioni fi {u) perchè si presenti questo caso. Se a, , p^ son 

 le coordinate (ben fissate) di due punti della retta F, il punto 

 fi{u) dovendo stare su questa (n. 7), si avrà: 



/•/ (m) == a, . X (m) + P/ . M (m) , 



(*) Come esempio di superficie F, consideriamo quella che si ottiene 

 prendendo per le fi{u) dei polinomi di 4° grado (il 3" grado darebbe una 

 superficie piana; per un grado minore veggasi la 2* nota al n. 7). Divi- 

 dendo allora le (9) per u — v, si riconosce che quelle formole rappresentano 

 una rigata cubica generale. 



Effettivamente, se s'indica con F una rigata cubica generale , i coni 

 circoscritti ad F dai punti della superficie la toccano secondo cubiche 

 sghembe (passanti pei due punti uniplanari) costituenti un sistema oo^. Fis- 

 sata una di queste cubiche C, i coni che la projettano dai suoi vari punti 

 segano ulteriormente F secondo cubiche di quel sistema: e se ne ottengono 

 così 00 ' formanti un doppio sistema coniugato, che si può riguardare come 

 il nostro sistema delle caratteristiche. 



Se F si rappresenta sul piano, sì che le sue sezioni piane corrispondano 

 al sistema lineare delle iperboli equilatere passanti per un punto fisso 0, 

 le 00^ cubicke sghembe suddette hanno per imagini i cerchi passanti per 0; 

 il sistema delle caratteristiche corrisponde ad un sistema arbitrario di cerchi 

 uguali passanti per 0; l'inviluppo di questi è un cerchio di.centro 0, ima- 

 gine di un'asintotica di F. Ecc. 



(*') Perchè una congruenza di rette tale che ogni sua retta abbia tre 

 fochi, e quindi infiniti, si compone sempre delle rette di un piano. — Op- 

 pure, senza invocare la teoria delle congruenze di rette, si può applicare 

 a questo caso un noto i-agionamento (del sig. Castelnuovo), che fa subito 

 vedere come le tangenti alla curva di Z in due punti qualunque saranno 

 sempre in un piano (tangente a un cono di corde di quella curva); onde ecc. 



