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donde integrando: 



(10) /", {u) = a; . cp (w) 4- B, . MJ {u) + €, . 



Viceversa, se le f, (u) si possono esprimere in questo modo, 

 le a, p, €/ essendo costanti, il luogo F rappresentato dalle (9) 

 sarà una retta C*). 



10. Ritornando ora alle superficie P, cioè alle superficie 

 con due sistemi coniugati di curve coniche, stabiliamo quali sono 

 quelle per cui le curve di uno di quei sistemi, o di entrambi, sono 

 in pari tempo curve piane. 



Se due curve dell' un sistema sono piane, ma in piani di- 

 versi, tutte saranno piane (n. 3), e i loro piani formeranno un 

 fascio, il cui asse F sarà il luogo dei vertici dei coni circoscritti 

 alla superficie lungo le linee del 2° sistema (**). Anzi, due qua- 

 lunque linee di questo 2° sistema staranno sempre in uno stesso 

 cono avente il vertice su F. 



Per generare una superficie JP cosi fatta basterà che nella 

 costruzione del n. 4 si assumano per C, D due curve piane. — 

 Per rappresentarla analiticamente colle formolo (1), basterà as- 

 sumere le fi (w) della forma (10). — 



Se invece vogliamo che entrambi i sistemi coniugati siano 

 di linee coniche e piane nello stesso tempo, basterà nella costru- 

 zione del n. 4 prendere per A, B, C, D quattro curve piane. 

 Allora i piani di quei due sistemi di linee caratteristiche pas- 

 seranno risp. per due rette F, G. E in pari tempo, sarà G (o F) 

 il luogo dei vertici dei coni circoscritti alla superficie lungo le 

 linee del 1° (o risp. 2°) sistema. 



(*) Il lettore vedrà subito perchè ci è bastato scrivere che la linea (3) 

 del n. 2, cioè il luogo del punto fi{u), è una retta, per ottenere che si ve- 

 rifichino le altre proprietà relative al caso attuale. 



(**) Si ricordi, a questo proposito, la proposizione nota, e quasi evidente, 

 che al sistema delle sezioni di una superficie coi piani passanti per una 

 data retta è coniugato il sistema delle curve di contatto della superficie 

 coi coni circoscritti dai punti di quella retta (Cfr. Koenigs. Sur les propriétés 

 infinitésimales de l'espace réglé, Thèse, Paris 1882, pag. 63). 



Viceversa, se su una superficie si hanno due sistemi mutuamente coniu- 

 gati, l'uno di linee piane, l'altro di linee coniche, i piani di quelle forme- 

 ranno un fascio; perchè ognuno di essi conterrà (delle generatrici e quindi) 

 i vertici di tutti i coni circoscritti alla superficie lungo le linee del 2° sistema. 



