SULLA GENERAZIONE DELLE SUPERFICIE, ECC. 99.") 



Dalle formole (10) ed analoghe per </, (v) si trae che una 

 tal superficie, riferita a quelle linee caratteristiche, può rappre- 

 sentarsi così : 



(11) X, = a, . qp iu) + 3, . vp {u) + f, . (.) -|- ò, . V (v) + e,, 



ove lo a 3 T b e sono costanti. Risolvendo queste equazioni ri- 

 spetto alle 4 funzioni che figurano nei secondi membri (quando 

 la risoluzione sia possibile), e poi facendo una conveniente 

 trasformazione delle coordinate projettive (vale a dire, pren- 

 dendo a 3 T b come punti fondamentali delle nuove coordinate), 

 si potranno in generale (non sempre) rappresentare le superficie 

 particolari di cui ora si tratta, così: 



(12) x, = Q, iu) , X, = e, (w) , X, = Q, iv) ,x, = Q^ [v], 

 od anche, elinìinaiido u e v, colle due equazioni 



(13) r]{x„x,) = (), l{x„x,) = (*). 



Viceversa si riconosce subito che un siste...ìa di equazioni di 

 questi tipi rappresenta in generale una superficie con due si- 

 stemi coniugati di curve piane e coniche. 



Rientrano evidentemente in questa categoria tutte le su- 

 perficie di rotazione; e così pure la ciclide di Dupin, la super- 

 ficie romana di Steinek, ecc. (**). 



(*) Si rifletta che, quamlo non s'impone la condizione dell'omogeneità 

 alle equazioni che si danno per le coordinate di punto x, x^ r-, x^,, occorrono 

 dite equazioni per rappresentare una superficie. 



Sostituendo a quelle quattro coordinate di punto le tre non omo- 

 genee xyz, si avrà, invece delle due equazioni (13). una sola equazione 

 della forma F[x.tJj{z), .'/."JÙ)] = 0. Le linee caratteristiche sono allora nei 

 piani 2r = cost. , e in quelli che passano per l'asse delle z. 



(**) Per le superficie di rotazione e per la ciclide il doppio sistema ca- 

 ratteristico è dato dalle linee di curvatura. — La superficie di Steiner si 

 ottiene prendendo per le /"/(«) e gi(v) dei polinomi di 2° grado in u, v (sicché 

 i luoghi jP e G si riducono a rette, per la 2* nota al n. 7). Dalla rappresen- 

 tazione della superficie sul piano (m v) si trae che i due sistemi caratteri- 

 stici sono i due sistemi di coniche situate nei piani che passano risp.® per 

 due spigoli opposti del tetraedro costituito coi 4 piani tangenti lungo co- 

 niche alla superficie di Steiner (quei due spigoli son le rette singolari dei 

 due punti uniplanari di una retta doppia della superficie). A due a due le 

 coniche di uno stesso sistema sono in un cono quadrico avente il vertice 

 sull'asse dell'altro. Cfr., ad esempio, le pag. 433-434 della mia Memoria nel 

 t. 24 (1884) dei Math. Annalen. 





