996 e. SEGRE — SULLA GENERAZIONE DELLE SUPERFICIE, ECC. 



11. Una costruzione delle superficie JP aìqua.nto diversa da 

 quella del n. 4 ci sarà data da una certa specie di trasforma' 

 zioni dello spazio. 



Sopra le due curve qualunque 



(14) Xi = fi (ti) , yi = Qi {v) 



distendiamo risp. due variabili U, V, uniformi sulle curve stesse 

 (per esempio i parametri u, v, o delle funzioni uniformi di essi). 

 Poi, consideriamo quella corrispondenza T tra punti dello spazio 

 (generalizzazione delV omografia rigata, o biassiale), per la quale 

 sono corrispondenti due punti z, z' quando la loro retta incontra 

 le curve /", g (14) in punti x, y con tali valori di U, V, che il 

 birapporto [x y z z') sia uguale a U:V; ossia quando si possa 

 porre 



(15) z, = \fi{u)^^gdv) 



(16) z/ = \Uf,{u)-\-^Vg^{v). 



Si osservi che, se nelle (15) si assumono per \ e |li delle 

 date funzioni rispettivamente di u e v, il punto z al variar di 

 questi parametri, descrive ima superficie P avente le curve f, g 

 per direttrici associate nel senso del n. 5. E anzi, in questo 

 modo si rappresentano tutte queste superficie J*. Passando allora 

 alle (16) concludiamo subito: 



Se si considera l'insieme di tutte le superficie P aventi le 

 curve fissate f, g per direttrici associate, ogni trasformazione T 

 basata su queste direttrici muta quel!' insieme in se stesso. Il 

 gruppo di quelle T è transitivo : vale a dire due qualunque delle 

 dette superficie si corrispondono sempre rispetto ad una T. Basta 

 scegliere convenientemente le U e V. 



Ne deriva la costruzione che volevamo per le superficie I*. 

 Basterà applicare una trasformazione T ad un piano. In fatti un 

 piano si può sempre riguardare come superficie JP relativa alle 

 direttrici associate /", g : per esempio il piano ^j = è rappre- 

 sentato dalle (15), ove si prenda 



A(m) ' gi{v) 



La trasformazione T ha l'aspetto analitico^ in causa delle 

 variabili U, V che occorre distendere sulle curve f, g. Ma si 





