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a mezzo dei suoi angoli riesce laboriosa, mentre dai padri della 

 Geometria non euclidea è stata ottenuta senza integrazione al- 

 cuna e rapidamente. Inoltre l'A. è giustamente preoccupato della 

 nessuna connessione visibile a priori fra i concetti metrico-pro- 

 jettivi e le formule intrinseche predette, cosicché queste ultime 

 hanno del gratuito ne assicurano a priori che da esse derivi 

 l'area del triangolo proporzionale al suo eccesso. Perciò l'A. si 

 accinge dal canto proprio a invertire il procedimento comune- 

 mente usato per la determinazione delle aree piane non eu- 

 clidee, cercando ingegnosamente di assimilarlo a quello che si 

 usa in Geometria euclidea; vale a dire: supposta assodata una 

 teoria dell' equivalenza dei poligoni piani non euclidei; dalla 

 quale risulti che l'area di un poligono è proporzionale al suo 

 eccesso (e ciò non presenta difficoltà alcuna), calcolare l'area 

 del parallelogrammo infinitesimo in funzione dei lati e dell'an- 

 golo compreso, oppure in funzione delle coordinate proiettive 

 dei vertici. A quest'ultimo risultato giunge l'A. dimostrando che 

 l'ampiezza (dovidiana) del triangolo infinitesimo formato da tre 

 vertici del parallelogramma infinitesimo coincide coll'area di 

 questo parallelogramma; e così stabilisce la formula metrico- 

 projettiva per l'elemento d'area, utilizzando nel senso desiderato 

 dai suoi interpreti, ma in modo ineccepibile, quell'ampiezza che 

 egli con mirabile intuito aveva introdotta fin dal 1876. 



Naturalmente non era possibile seguire un tale metodo per 

 i volumi e gli ipervolumi ; ma il chiar.'^^ A., giovandosi dell'a- 

 nalogia, intuisce le corrispondenti formule estensionimetriche 

 proiettive differenziali. 



Dal che risulta che, contrariamente all'opinione da me re- 

 plicatamente espressa alle pagine i e 6 delle mie " Ricerche „ 

 precitate, le formule predette sono state poste in evidenza fin dal 

 1893 dal chiara" prof. D'Ovidio. 



Nello spazio ordinario di curvatura costante K — = il 

 volume P, del tetraedro normale due volte asintotico, di diedro 

 laterale z è dato (mie " Ricerche „, pag. 43) dall'integrale 



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(1) Ps= ^ ^ìog2senzdz, 



