SOPRA ALCUNI PUNTI DELL'ESTENSIONIMETKIA NON EUCLIDEA 1049 



di cui, per z reale e compreso fra e tt, si conosce (mie " Ri- 

 cerche „, pag. 43 in nota) il seguente elegantissimo sviluppo 

 in serie 



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dovuto sostanzialmente a Lobatschewski ed esumato recente- 

 mente dal D' Dannmayer (*). 



Siccome ogni tetraedro è un aggregato di tetraedri nor- 

 mali diasintotici (**), i quali, se il tetraedro è reale, nel caso 

 iperbolico possono essere presi tutti reali, ma nel caso ellittico 

 sono necessariamente tutti immaginari, così importa conoscere 

 anche uno sviluppo in serie di P, per valori complessi di z. Io 

 credo che si possa giungere a tale sviluppo nel seguente modo: 



Quando sia z =^x -\- iy con x eà. y reali, si ponga 



per ^>0 : ^ = e^'' = e-2y+2ix^ 

 per y<0 :t = e--''' = e-'^-^'"^. 



Allora poi si ha in ogni caso 

 mod^<l, 



(*) Anche la (1), leggermente modificata nella forma, è di Lobatschewski. 

 Essa però non trovasi in Liebmann, Nichteuklidische Geometrie (Sammlung 

 Schubert, 1905). Io l'ho trovata per mio conto, poi l'ho letta (come ripro- 

 duzione dell'opera di Lobatschewski) nella tesi di laurea del sig. Dannmayer 

 (da me ampiamente citata e cQuiraentata nelle dette Ricerche). 



(**) Non so se anche in questo io sia stato preceduto; so che io ho 

 tratta la certezza di ciò da una formula (che leggesi a pag. 42 delle mie 

 Ricerche) che ho trovata 5 o 6 anni addietro per via geometrica e che ho 

 in dette Ricerche dimostrata analiticamente. Questa stessa formula fu da 

 me comunicata anche alla Società dei Naturalisti e Matematici di Modena 

 il 12 marzo 1907 colla mia Nota (uscita nel maggio 1907) 5»/ volume dei 

 poliedri nella ipotesi non euclidea, ma senza svilupparne la dimostrazione, 

 perchè avevo il solo intento di ovviare ai danni che potevano derivarmi 

 dal ritardo che subiva la pubblicazione delle predette mie " Ricerche „. 

 Difatti queste non furono poi pubblicate che nel Natale 1907; e il ritardo, 

 debbo convenirne, mi fu benefico, perchè mi permise di aggiornare mag- 

 giormente e di rimaneggiare profondamente il mio lavoro. 



