SOPRA ALCUNI PUNTI DELL'eSTENSIONIMETRIA NON EUCLIDEA 1051 



Queste serie si possono integrare termine a termine lungo 

 un cammino compreso entro i rispettivi semipiani. Tale inte- 

 grale, riferendosi a una funzione non solo monodroma (entro il 

 rispettivo semipiano) ma altresì senza punti critici nello stesso 

 semipiano, è monodromo, cioè ha un valore dipendente dai soli 

 estremi z, z^y del cammino d'integrazione, e sarà dato da 



log2 sen2 dz = '^ [zq — z) — -^ [zi — z'^) + 



+ 4 Ln n^ ,pery>0, 



1 



/•»o 



^1 \og2BQìizdz = — j{zQ — z)^\{zl — z'^) — 



9 Iti ir 



,per«/<0. 



2^. wt,-o^x.«vv* ^ v-o -) 1 4 



-y 



4 /^n 

 1 



g— 2i««o — g — lim 



00 



Ora, poiché 7 —rè convergente, gli sviluppi precedenti 



l 



valgono anche al limite per y = ; e perciò si potrà prendere 

 Zq = — (*); così si ottiene infine' (facendo 'P, = KzP^ 



Li 





.n /,ttni 



(-l)"-e 



/ ^n .i> W "V 1 V ( -1)" - c-^"" 



(*) La divergenza della serie (3) si ha veramente soltanto per <=1, 

 mentre per mod/ = 1 e t — = 1 la serie (3) è ancora convergente (Bianchi, 

 Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complesso, pag. 23). Dunque i 

 due sviluppi in serie (3') sono validi anche per y = 0; e così resta provato 

 anche a priori che il cammino d'integrazione in uno dei due semipiani può 

 contenere dei punti dell'asse reale, eccettuati tutt'al più quelli che cadono 

 in multipli di tr. 



Atti della R. Accademia — Voi. XLIII. 71 



