1056 ERNESTO LAURA 



Reciprocamente: se le (1) costituiscono un sistema invariante 

 per il gruppo delle rotazioni attorno ad un punto — la trasfor- 

 mazione di contatto derivata dalle (1) appartiene al gruppo (T). 



La dimostrazione di questo teorema consisterà nel mostrare 

 che se: 



(2) y\>k{x,g,z,p,q;x',g',z',p',q') = k = 1,2, ..., b — h 



sono le equazioni che bisogna aggiungere alle (1) perchè risol- 

 vendo il sistema che cosi si ottiene rispetto alle x', y , z , p , q la 

 trasformazione che ne risulta sia di contatto, allora le (1) e 

 le (2) formano un sistema invariante per il gruppo prolungato 

 delle rotazioni attorno ad un punto. 



Considererò separatamente i tre casi possibili: 



A = l, h = 2, /ir=3 



Indicherò con la caratteristica d l'accrescimento che una 

 funzione subisce quando le x, y, z, x', y' , z' subiscono accresci- 

 menti legati dalle relazioni: 



dz r= p dx -\- q dy 

 dz = p dx -\- q dy 



e con la caratteristica b, come precedentemente, una rotazione 

 infinitesima di componenti tt, x, P simultaneamente data ai due 

 spazi (\), 



Facciamo inoltre le posizioni: 



dx dx òz dy òy ^ ^z 



d d,,d d ò,,d 



1° Caso. 

 Sia data una sola equazione generatrice: 



(3) ^>{x,y,z;x',y',z') = 



