SOPRA LE TRASFORMAZIONI DI CONTATTO, ECC. 1061 



IL Dal N'^ precedente discende quindi che per la ricerca di 

 tutte le trasformazioni (r) occorre conoscere gli invarianti (ed i 

 sistemi invarianti) del gruppo delle rotazioni attorno ad un punto 

 applicato alle due terne di variabili. Questi invarianti, come è 



noto sono: 



p = a;2 -f- 7/2 -[- ^2 



Q ^xx' -}- yy' + zz' . 



Costituiscono poi un sistema invariante per il gruppo stesso 

 le equazioni seguenti (^) : 



£^ j)_ z^ 



x' y z' ' 



Le trasformazioni di contatto (P) hanno dunque equazioni 

 generatrici del tipo: 



/•(p, p', e) = 



-^ = — = 

 y' ^ 



.e P'J- 



Potremo dunque con sole operazioni algebriche ricavare 

 tutte le trasformazioni di contatto (P). 



III. Ricerchiamo dapprima le trasformazioni (f) ad una 

 sola equazione generatrice. Questa dovrà essere della forma: 



(11) q> (p, p', e) = o 



essendo (p una funzione arbitraria. 



(') Queste equazioni rientrano in realtà negli invarianti dati. Invero 

 dall'identità: 



pp' _ e^ = (a-y' — xyf -\- [ijz — y'zf + {zx — zocf 

 discende che è invariante l'equazione: 



(xy' — xxjf + Kyz — y'zf + {zx — ^xf = 0. 



E poiché le trasformazioni che consideriamo, a punti reali fanno cor- 

 rispondere punti reali, quest'ultima si scinde nel sistema: 



X y z 



x' i/ z 



il quale sarà dunque invariante. 



