I QUATERNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1147 



con tale conoscenza sarà possibile proporre, e sostenere, un 

 sistema razionale di notazioni. Tale ò lo scopo di questa breve 

 nota. 



Con la parola vettore intendo indicare, come Hamilton 

 nel Libro I, un ente dotato di grandezza, direzione e verso e 

 individuato da tali elementi. Segue, anche secondo Hamilton, 

 che vettore e quaternione retto sono cose ben distinte. 



Visto che il calcolo vettoriale, con le sue operazioni -| 



X A è così semplice e intuitivo, me ne servo per ottenere 

 (per via diversa da quella tracciata da Hamilton) i quater- 

 nioni (*), salvo a provare che ottengo veramente i quaternioni 

 di Hamilton e non altri enti. 



Infine per eliminare una possibile confusione tra simbolo di 

 funzione e valore di una funzione per un dato valore della va- 

 riabile, sostituisco alla frase ordinaria simbolo di funzione la 

 parola, usata pure da Hasolton, operatore. Così, ad esempio, 

 in y = /"(r), f è l'operatore, y è il valore che si ottiene ope- 

 rando su X con l'operatore f. — Chiamo campo di applicazione 

 di f la classe degli x cui si applica l'operatore f. Col variare 

 del campo di f possono variare le proprietà di f; ad es., sen è 

 invertibile se il suo campo è da — k/2 a tt'2, non è invertibile 

 se il suo campo è da — oo a -}~ °^ (**)• 



1. Definizione di Quaternione. — Diremo che " a è 

 un quaternione „ quando: essendo a un operatore per i vettori, 

 esiste almeno un numero reale s e un vettore il tali che, co- 

 munque si fìssi il vettore x normale ad u, si ha sempre 



(1) ax = sx -\-iiAx {***). 



{*) Per tale via ho ottenuto, ed esposto in questa nota, la completa 

 teoria dei quaternioni. La brevità è tutta dovuta, come il lettore può fa- 

 cilmente verificare, all'avere ammesse note le operazioni vettoriali geome- 

 triche ora indicate. 



(**) Per ciò che riguarda i precisi concetti di funzione, e di campo di 

 applicazione o di variabilità, cfr. 6. Peano, Formulario mathematica, Editio V, 

 pp. 73-82. 



(***) Scriviamo a a? in luogo di a(cc) nella quale le parentesi sono del 



tutto inutili, come nella notazione generica fix) attuale che da Lagrange 



Abel... è data sotto la forma semplice fx. Anche attualmente si scrive, ad es., 



f{x-\-i/), mentre ammessa la notazione f{x) si dovrebbe scrivere fHx-\-!/}). 



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