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Che la definizione ora data caratterizzi una classe di ope- 

 ratori vettoriali, risulta del teorema seguente : 



Se a è un quaternione, allora: esiste un solo numero reale s 

 e un solo vettore u tali che per qualsiasi vettore X normale ad u 

 sussiste la (1). 



Dim. — Dalla def. di quaternione , risulta che dato a esiste almeno 

 un numero s e un vettore u soddisfacente alle condizioni indicate e, di 

 più, risulta che a è un operatore il cui campo di applicazione è formato 

 dai vettori normali ad u. Supponiamo ora che s e te' siano elementi ana- 

 loghi ad s e M atti a individuare a. 



Qualunque sia il vettore oc normale ad u e ad ii si ha 



sx -\- u f\x ^= s X -\- u' /^,x, cioè, (s — s')ìc = (m' — u)/\x; 



moltiplicando scalarmente (X) o vettorialmente (A) per x i due membri 

 si ha, osservando che m X a? = m' X a? = [li — u) X £C = 0, 



(s — s')x^ = 0, = ) [ti— u)f\x[ /\x = x-{u — u) ; 



esistendo ìK#=0 normale ad te e u' risulta 



s = s', u = u. 



Segue da questo teorema che s e u della (1) sono delle 

 funzioni di a, cioè, dato a, sono univocamente determinati s e ti, 

 che chiameremo rispettivamente " scalare di a „, Sa, e " vet- 

 tore di a „, Va. In virtù di queste notazioni (di Hamilton) la (1) 

 assume la forma assoluta rispetto ad a, 



(2) ax = {Sa)x + (Va) A X. 



Non sarà inutile dare al teorema precedente anche le forme 

 seguenti. — Di un quaternione ne è determinato, e in un sol 

 modo, lo scalare e il vettore. — Viceversa: un numero reale e- 

 un vettore, comunque dati, sono sempre scalare e vettore di un sol 

 quaternione. — Se a, ^ sono quaternioni, allora: 



a = p solamente quando Sa = Sp e Va = VB. 



Il quaternione a si dirà nullo {zero, 0) quando, comunque 

 si fissi il vettore x, sempre si ha aac=^0. Segue che: 



a = 0, solamente quando Sa = e Va = 0. 



