I QUATERNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1149 



Conviene ripetere esplicitamente che: se a è un quaternione, 

 a è UN OPERATORE VETTORIALE il CUÌ campo dì applicaziono 

 è formato dai vettori normali al Va. 



Se Va = allora il campo di applicazione di a è formato 

 da tutti ì vettori; la (2) dà aa? ::^ (Sa)ac, qualunque sia X, 

 cioè a = Sa. Dunque: un quaternione il cui vettore è nullo, è un 

 numero, il suo scalare. 



Chiameremo quaternione retto ogni quaternione il cui sca- 

 lare è nullo. Si noti però che: un quaternione retto non 

 è un vettore, come risulta subito dalla (1) che per s = 

 dà ax= iiAx (*). 



Se a è un quaternione, il " coniugato di a „, Ka, è il qua- 

 ternione il cui scalare è Sa e il cui vettore è — Va. Si ha 

 cioè : 



S(Ka) = Sa V(Ka) = - Va 



a =: Ka solamente quando Va = 0. 



Infine essendo a un quaternione poniamo , con Hamilton, 

 * tensore di a „ = Ta = V(Sa)2TIVa)2". 



Segue che 



Ta = TKa 



Ta = 0, solamente quando a = 0. 



È necessario dimostrare che i quaternioni, quali li abbiamo 

 ora definiti, sono precisamente i quaternioni di Hamilton. 



Hamilton individua un quaternione a mediante due vet- 

 tori a, b, a=~ 0, come : queir operatore vettoriale che applicato 

 ad un vettore x qualunque, purché complanare con a e b, pro- 

 ' duce il vettore aX tale che, essendo un punto qualunque, il trian- 



{*) La notazione n/^^x ha valore per oc qualunque; non però ax che 

 vale 8olo per x normale ad m — Va. Segue che da ax = uAx ai può 

 trarre a = u/\, però con la condizione di limitare all'operatore u A il campo 

 di applicazione ai soli vettori normali ad u. Con le notazioni del Formu- 

 lario, Olà citato, il quaternione retto il cui vettore è M viene indicato dalla 

 notazione completa 



[mA- v<^x3{u%x = 0)], 



cioè è una funzione della coppia formata dall'operatore u/\ e da un campo 

 di applicazione. 



