I QUATERNIONI DI HAMH/fON E IL CALCOLO A'ETTOKIALE 1151 



Il " prodotto di a per 3 „, 3 a (e non a 3), è il quaternione y 

 tale che: comunque si fissi il vettore X normale al Va, essendo 

 inoltre ax normale al Vp, si ha sempre -fx = ^(aj)). 



Per dimostrare che i quaternioni a + 3, 3 a, sono univoca- 

 mente determinati dalle due precedenti definizioni, anzi per pro- 

 vare che precisamente si ha 



(3) S(a + 3) = Sa + SB, V(a -f 3) = Va -|- V6, 



( S(8a) = S3.Sa — (V3)X(Va) 



( V(3a) = SB . Va + Sa . V3 -f (V3) A (Va), 



occorre dimostrare il teorema seguente: 



(5) Se s è un numero reale, a è un vettore, x è vettore non 

 nullo normale ad a {cioè x=^0 e u 'X^x =^ 0) ed esiste un qua- 

 ternione a tale che 



ax = sx -{- u/\ X, 

 allora : Sa =: s, Va = u. 



Dim. (5). — Dall'ipotesi risulta che ax e un vettore determinato; e 

 poiché il campo di applicazione di a è formato dai vettori normali al Va, 

 deve essere oc normale al Va, cioè x X Va = 0. Ora, sottraendo membro 

 a membro le due eguaglianze 



ax — sx-]~u/\x, ax = {SoCix-\-{Ya)/\x 

 si ottiene 



(s — Sa.)x = iY a — u) /\x; 



moltiplicando scalarmente (X) e vettorialmente (A) per £C e tenendo conto 

 delle ipotesi si ha 



(s — Sa)a;2 = 0, = ) (Va — i«)Air; ( /\x^{Ya-u)x- 

 che, per essere x'^=^0 danno Sa^=s, Va = t«. 



Dim. (3). — Se a? è vettore non nullo, normale a Va e V3 si ha 

 dalla (1), 



aa? + pie = (Sa + SP)a7 + (Va + V3) AiP, 

 e quindi per la def. di a -1- p e per il teorema (5) si hanno le formule (3). 



Dim. (4). — Se x è vettore, non nullo, normale a Va e ax è normale 

 a V 3 e osserviamo che, in tali ipotesi, 



)(V3)A(Va)( A« = (a?X V3)Va 

 si ha. 



3(aic) = 3)Sa.a3+(Va)Aic( = 



= 83 . Sa . ic + S3 . (Va) Aa?4- S3 . (V 3) A» + (V 3)A)(Va) A2C ( = 

 =- )S3 . Sa - (V3) X (Va)| ic + SS3.Va + Sa.V3 4- (V3) A(Va)( /\x 



che per la def. di 3 a e per il teorema (5) dimostra le formule (4). 



