1152 e. BURALI-FORTI 



Dalle (3) e (4) si ricavano facilmente le proprietà fonda-^ 

 mentali della somma e del prodotto. 



La somma è commutativa; a -j- B = 8 + a. 



Il prodotto non è, in generale, commutativo, salvo il caso 

 che il vettore di uno, almeno, dei due quaternioni sia nullo, cioè 

 uno dei quaternioni sia un numero. 



Se m è numero (m quaternione di vettore nullo) si ha 



ma = a/w, S(ma) = mSa, V(ma) = mVa). 

 Segue che, fatte, come in algebra, le convenzioni 

 a=:(— l)a, a — p = a4-(— p), — = — a (per m #= 0) 



si ha l'ordinario algoritmo algebrico per la somma e il prodotto 

 per un numero reale. 



Sussiste la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla 

 somma, cioè 



(a 4- P)y = ttT + Pt, a(p + y) = aP + ar. 



Il tensore del prodotto è il prodotto dei tensori dei due 

 fattori; cioè 



T(Ra) = {TB)(Ta) 



Dim. - ) T (3a) /^ = , S (Pa) ^^ + / V m ^ = 



-= (Sa)2. (S3)- + (Sa)^ ( V3)2 + (SB)l (Va)^ + (Va)^ m? = 

 = {Saf inf + ( Va)2 (Tp)2 == [Taf (Tpf , 



quando si tenga presente che 



u,^v X M = ii/\v X f = , («t X vf ^j- {uf\vf = mV. 



Il prodotto di due quaternioni è nullo solo quando uno, 

 almeno, dei due fattori è nullo ; 



Ba =; 0, solo quando, a = ovvero p =: 0, 



Dim. — pa = solo quando T(pa) = 0, cioè T3 = o Ta==0, cioè 

 3 = a = 0. 



I quaternioni Ba, aB hanno egual scalare e quindi 3a — ap 

 è un quaternione retto. 



