I QUATEKNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1153 



Per il simbolo K si ha 



K(a + p) = Ka -f- Kp, K(pa) = (Ka) (KP) 

 a(Ka) = (Ka)a = (Ta)2. 

 Porremo, con Hamilton, essendo a un quaternione non nullo 



" versore di a „ ^Ua= ,„ . 



la 



Ogni versore può ridursi alla forma 



cosqp -)- z'sehcp 



ove i e un quaternione retto ìinitario, non un vettore, e quindi 

 un quaternione qualunque a è riduttibile alla forma 



a = /-(coscp -|- isenqp) 

 ove r è il Ta. Ecc. 



3. Somma e prodotto di un numero finito di 

 quaternioni. — Se a, p, r sono quaternioni si ha 



(« + P) + T = a4-(8 + T), (TP)a = T(8a) 



come risulta dalle (3) e (4), verificando che i quaternioni dei due 

 membri hanno a comune lo scalare e il vettore. 

 Si può dunque, come in algebra, porre 



a + P + T = (a + P) 4- T, Tpa = T(Pa) 



e analogamente per quattro o più vettori. 



La somma risulta commutativa e associativa; il prodotto ri- 

 sulta associativo, distributivo rispetto alla somma, ma, in gene- 

 rale, non commutativo. 



I simboli S, V, K sono distributivi rispetto alla somma, 

 cioè, 



S(a + p -l-T) = Sa -f Sp + Sr, V(a4-p + T)=Va-f Vp+ Vt 

 K(a + 8 -f- T) = Ka + K8 + Kt; 



ma S e V non sono distributivi rispetto al prodotto. Invece 

 per T e K si ha 



T(Tpa) = Tt . TP . Ta, K(TPa) = Ka . K8 . Kt. 



