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Esaminiamo ora un'apparente anomalia degli operatori vet- 

 toriali, quaternioni. 



Il quaternione a -j- j? è operatore applicabile ai vettori X 

 normali al Va -|- VP ; ma si ha 



(a -|- P)x= ax -\- ?>x 



solo quando x è normale al Va e al Vp ; cioè il primo membro 

 ha significato per x variabile in un campo molto più vasto del 

 campo di variazione che ha nel secondo. In altri termini non 

 per tutti i vettori x per i quali ha significato (a -\- 3)a? si può 

 stabilire l'eguaglianza precedente. 



Analogamente {^o.)x ha significato per infiniti vettori per 

 i quali P(aa^) è priva di significato. 



Ancora. L'eguaglianza 



(a + 8 -]- ^)x = ax -j- ^x -|- ^x 



sussiste, in generale, solo per ac = 0, perchè, affinchè abbia si- 

 gnificato il secondo membro deve essere x normale ai tre vet- 

 tori Va, VP, Vy, cioè in generale deve essere 05 = 0. Lo stesso 

 dicasi per {^^a)x che vale V\'^{o.x)\ solo per x = 0, mentre ha 

 significato preciso per ogni vettore x normale al V(TPa). 



Che questi fatti dipendano dalla reale natura degli opera- 

 tori vettoriali quaternioni, è evidente ; e del resto che tali fatti 

 dovevano verificarsi era facile vederlo a priori, tenendo conto 

 del campo limitato di applicazione di ogni quaternione. — Le 

 apparenti anomalie ora considerate cessano quando si opera sol- 

 tanto con quaternioni i cui vettori sono paralleli ad un vettore 

 fisso, cioè si opera con gli ordinari numeri complessi di un piano 

 normale al vettore fìsso. 



4. Potenze. — Se a è un quaternione e w un intero o 

 nullo positivo, definiamo, per induzione, come in algebra, a" 

 ponendo 



a» = 1, a"+^ = aa" 

 e risulta 



a"a"' = a"+"' 



a causa della proprietà associativa del prodotto. 



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