I QUATERNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1155 



Però {^af è, in generale, diverso da PV. perchè non sus- 

 siste la proprietà commutativa. 



Se a è quaternione non nullo, poniamo a~^ = " quel qua- 

 ternione P tale che pa =^ 1 „. 



Stando l'ipotesi precedente si ha 



(6) " =rrar 



Dim. — Se pa = l e S'a = l allora — p')a = ed essendo a =4=0 

 deve essere p = P', cioè : se a— ^ esiste è unico. Da (Ka)a = {Taf si ricava 

 la (6). 



Se i quaternioni a, 3 non sono nulli si ha 

 (3a)-i = a-' B-\ 



Se n è intero relativo 



a-" = (a-')" 



ma però (Ba)~" è diverso da a~"3~" eccetto che per n^l n=0. 



Si può definire, per m, n interi, a"'" come il quaternione P 

 tale che f = a". 



Per la classe U di enti, contenente lo zero, sia definita 

 l'operazione moltiplicazione, con le due proprietà seguenti : 

 a) è commutativa, 

 h) da ab = ac e a 4= 0, segue h = e. 



In tali ipotesi, se a, b sono elementi di U, a =!= 0, ed esiste 

 un elemento jj di U tale che ax = b, allora x e unico e si può 

 dire che x si ottiene da b ed a con l'operazione inversa della 

 moltiplicazione, con la divisione. Mancando però una delle con- 

 dizioni (a), (è) la divisione non può esser definita. Ciò si veri- 

 fica per le formazioni geometriche di Gkassmann per le quali 

 non è vera (ò) e, in generale, neanche (a), e per i quaternioni 

 per i quali è vera la (b) ma non la (a) (*). 



(*) Se non è vera la {b) allora — ha infiniti valori, come si verifica 



a 



per le formazioni di Grassmann; se, invece, (6) è vera ma non è vera (a) 



allora — ha 1 

 a 



i quaternioni. 



allora — ha due valori x, tj tali che xa = b, ai/ = b, come si verifica per 



