I QUATERNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1157 



Sono specialmente interessanti i teoremi seguenti. 

 Qualunque sia il quaternione a si ha identicamente 



(9) a = Sa -h I-'(Va) (*). 



Ditn. — Il quaternione a — Sa è retto e poiché Va è il suo vettore si 

 ha dalla (7) 



I (a — Sa) = Va , 

 e per le (8) 



a- Sa = 1-1 (Va), a = Sa + I-i (Va). 



Se il, V sono vettori 

 (10') {l-'v) [l-hi] ^ — vX u ^ l-'{v A u), 



sotto altra forma 



(lU) 



( Y){r'v){l-'u)\= V A u. 



Dim. 1 Dalle \A) osservando che 



S(I-1m) = S(I-1vj = 0, V(I-Im) = m, Y[l-^v) = v. 



B 

 Se u, V sono vettori, ie=J=0, e si scrive — al posto di 3a~\ 



allora si ha 



Q,x I-'l> ^ VXU r-lV_/\U 



Dim. il^ = (I-iu)-i(I-'rj = - -^ (I-iM)(I-'t;) , 



che per la (10') dà la (11). 



Notevole è la considerazione dei vettori i, j, k formanti 

 un sistema ortogonale-destrogiro, per i quali, valgono le relazioni 



JXk=kXi=iXj=0 

 i =j A fe, J = k A i, k = i A j. 



(*) a è la somma del suo scalare, non col suo vettore, ma col quater- 

 nione retto il cui vettore è il vettore di a. 



