I QUATERNIONI DI HAMILTON E IL CALCOLO VETTORIALE 1159 



tengono il debito conto, derivano, forse, le notevoli divergenze 

 di opinioni rispetto ai quaternioni. Sarà dunque opportuno esa- 

 minare i punti sostanziali della questione. 



Le omografìe vettoriali, nello spazio, formano un sistema 

 lineare a nove dimensioni. Tra le omografie sono da conside- 

 rarsi le dilatazioni m, caratterizzate dalla condizione 



(valevole qualunque siano i vettori x, y), che formano pure un 

 sistema lineare ma a sei dimensioni (*). 



Qualunque sia l'omografia vettoriale a, sono determinati, 

 e in un sol modo, la dilatazione )a e il vettore ii tali che per oc 

 vettore qualunque, 



ax = yix -]- a A x, 

 ovvero tali che 



Le omografie e per le quali la dilatazione )u è un nu- 

 mero s (**) 



(14) a ■= s -\- a /\ cioè ox ^ sx -{- u /\ X 



formano un sistema lineare a quattro dimensioni. 

 Però a = s-j-ifA non coincide col quaternione 



a = s + 1~' it 



perchè, mentre il campo di applicazione di (J è formato da tutti 

 i vettori, quello di a è formato soltanto dai vettori normali ad u. 

 La differenza tra a e a apparisce notevole considerando il 

 prodotto delle due omografie 



cr = s-|-ieA, g' =^ s' -\- ti' A. 



(*) Data \x esistono infinite quadriche tali che, per esse, il piano dia- 

 metrale coniugato alla direzione x è normale a \xx. Queste quadriche ta- 

 gliano tutte il piano all'infinito nel luogo (reale o immaginario) di equa- 

 zione J? X MiC = 0. 



(**j Le quadriche corrispondenti sono sfere. 



