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Si ha, con un calcolo semplice, in virtìi della (14), e per x 

 vettore qualunque 



a'(5x^={s's — u'y^u)x-\r\s'u-\-su'-\- u'Au{ ^x-\-{ti x x)u'; 



mentre per i quaternioni 



a ^ s -j- I~'?f , a' = s' -[- l~^u\ 



si ha, come si è già trovato (4), e per x normale al V(a'a), 



{a'ajx = {s's — ii'Xu)x + {s'u -\- su' -|- i*' A ii) A x. 



Di più ; mentre a' ex = {c'o)x = o'{ax) per x qualunque, 

 ia'a)x = a'(ax) solamente quando i vettori X, ax sono normali, 

 rispettivamente ai vettori Va, Va'. Altre notevoli differenze ri- 

 sultano dalle proprietà generali delle omografie vettoriali; ma 

 bastano questi esempi (*). 



7. Osservazioni. — È importante constatare i fatti se- 

 guenti. 



a) Hamilton, prima di introdurre gli operatori I, l~\ dà 

 significato preciso alle notazioni 



(15) ~-, '<^«^. 



(*) Nella nota IH, Per l'unificazione... (1. e), abbiamo posto, per i qua- 

 ternione retto e per u vettore, 



iA~^ = I«, u/\=l-hi 



ammettendo che il campo di applicazione dell'operatore composto u/\ sia 

 formato dai soli vettori normali ad u; poiché è .soltanto in tale Ì2iotesi che 

 A può funzionare da operatore (a destra) invertibile. Cosa analoga si fa in 

 analisi per le funzioni circolari; il simbolo sen è operatore il cui campo 

 di applicazione è formato da tutti i numeri reali: ora per considerare la 

 funzione inversa are sen o sen~^ è necessario ammettere che il campo di 

 applicazione di sen sia formato dai numeri da — 11/2 a 11/2. 

 Con tali notazioni la (10) diviene 



(vA)(mA) = - V X ?« + iv,\u)f\ 



nella quale vf\ si trova in due posti con campo di applicazione diverso, 

 come, in una stessa formula , può avvenire per sen e sen~'. Ogni ambi- 

 guità è tolta dai simboli I, 1~^ di Hamilton. 



