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von unglelrhem Alter oft wieder eine fast gleiche Riclitung; liaben ; er 

 nannte die Ersclieinunn^ „Recurri'tice pe'riodique des dircctions*'; jetzt 

 sah er sich durch die neue Erscheinung der Schnitt-Winkel wieder daran 

 erinnert. Nach manchen Versuchen wurde er auf folgenden Weg der 

 Lösung; geleitet. 



Bekanntlich kann man durch 15 grösste Kreise, die sich zu 5 und 5 

 an 12 Stellen der Oberfläche einer Kugel unter Winkeln von 36" schnei- 

 den, diese in 20 gleichseitige Dreiecke und zugleich 12 regelmässige 

 sphärische Fiinlecke, oder, um es deutlicher auszudrücken, in 120 recht- 

 winkelige ungleichseitige Dreiecke theilen, welche sich paarweise an 

 Oberfläche gleich und symmetrisch sind und sich beliebig in 30 Rauten- 

 Flächen, in 20 gleichseitige Dreiecke und in 12 sphärische Fünfecke zusam- 

 men-geordnet denken lassen. Da unter diesen Figuren die letztgenannten 

 nachiier die wichtigste Rolle spielen werden, so nennt der Vf. das Flä- 

 chen-Netz, welches durch jene 15 primitiven und eine weitre Anzahl ihnen 

 noch beizugesellender grüsster Kreise entsteht, das Pc n t ago na 1-Netz". 

 Jene 15 Primiiiv-Kreise begegnen siih in den 3 Winkeln eines jeden der 

 120 ungleichseitigen Dreiecke der Kugelfläche unter Winkeln von 36", 

 6o" und 90°, und das Grund -Netz enthält keine andren Winkel als diese 

 drei und den Winkel von 72", welcher durch Addition des ersten zu sich 

 selbst entsteht. Diese Winkel genügen also noch nicht, um die manch- 

 faltigen Winkel alle darauf zurückzuführen, unter welchen sich die Ge- 

 birgs-Systeme der Erd-Obei fläche schneiden. Um sie alle zu bilden, wäre 

 noch eine Anzahl von Hülfs-Kreisen nothwendig, welche aber mit den 

 Primitiv-Kreisen doch in einer gewissen näheren Beziehung stehen müss- 

 ten. B, nahm also in Betracht, dass jene Primitiv-Kreise des Pentagonal- 

 Netzes, indem sie sich unter 90" schneiden, „fünf tii-rectanguläre Systeme '■' 

 bilden, welche mit vollkommener Regelmässigkeit zusanimengeordnct sind", 

 und dass die drei Flächen eines jeden dieser Systeme als beziehungsweise 

 parallel zu den 6 Fläciien eines Würfels betrachtet werden können, der 

 seinen Mittelpunkt im Mittelpunkt der Kugel hat. Er erkannte, dass diese 

 5 Würfel nichts andres sind als die 5 Stellungen eines und desselben 

 Würfels, welcher sich von einer beliebigen ersten Stellung aus um l8o" 

 um jede seiner 4 Diagonalen drehen würde. Er stellte sich endlich diesen 

 Würfel in jeder der 5 Stellungen als den Kern eines regelmässigen Kry- 

 stall-Systems vor, das aus Flächen des Oktaeders, Rhomboidal-Dotekae- 

 ders und aller Pentagonal-Dodekaeder, Trapezoeder u. s. w., die da.s re- 

 gelmässige KrystallSystem in unbegrenzter Anzahl enthält, zusammenge- 

 setzl wäre. Indem er sich nun durch den Mittelpunkt der Kugel viele 

 Ebenen parallel zu den verschiedenen Flächen aller dieser Krystall-Typen 

 dachte, erhielt er eine ausserordentliche Anzahl gröbster Zirkel auf der Ober- 

 fläche, welche mit vollkommener Regelmässigkeit zu einander in der Art 

 von Symmetrie geordnet sind, welche dein primitiven Pentagonal-Netz 



♦ Der Vf. verweist im Laufe der Abhandlung auf andre Schriften, wo er diesen Am- 

 druck erklärt und die Wichtigkeit solcher Systeme Huseinandergeset/.t habe. 



