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que AxrziO. Tl fjut donc que r -h Av" -oit de cette 

 forme /x 4-XAx, X étant fonction de x et Ar; ce qui 

 donne "^ ' :z= X , où il faut prouver cjue X ne peut avoir 

 que cette forme X =2 P -f- Q. Ax -f- Il . Ax- -f- cet. ou 

 bien A/ "^ P . Ax -f- Q.. Ax* + cet. Or , comme il est 

 totijours possible de donner à A )• cette forme , par l'in- 

 vcision des séries, tout se réduit à prouver^ l)que X ne 

 peut contenir iiucune puissance fractionnaire de Ax, et 

 c) que les coelTiciens P^ Q., ctc ne sont dans aucune fonc- 

 tion égaux à zéro, à l'exception de cas particuliers. La 

 première proposition a été démontrée par La Grange dans 

 sa Théorie des Fonctions analytiques pag. 7. S. il ne reste 

 donc qu'à prouver Ja seconde. 



§, j 6. Soit donc l'équation proposée qui exprime I.1 

 nature de la fonction ou de la courbe, celle-ci: 



(A) o = a -V ,3x 4- y/ + 5x^ + exy 4- 4"/= "f cet. 

 d'où l'on tire l'équation aux différences, en substituant 

 x-i- Ax pour X, et r H- A r pour y, et en otant l'équa- 

 tion primitive (A). Or, il est clair par le théorème bi- 

 nomial, que cliaque terme de l'équation (A) donne, pour 

 coefficient de la première puissance de Ai: ou A>-, une 

 fiMKtion de^,j', moins élevée d'un degré que ce terme; 

 pour- coefficient de la seconde puissance des différences. 



