CONSIDERAZIONI GEOMETRICHE PER L' ANALISI PERIODALE 23 



Le funzioni 0^ che figurano nelle espressioni (1) e (2) le 

 chiameremo, per brevità, derivate ridotte di ordine n della fun- 

 zione data. 



Ciascuna di esse è ancora una sinussoide composta cogli stessi 

 periodi Ti , T2 . La derivata ridotta di ordine 1 ha per ampiezza 



a ^; la derivata ridotta di ordine 2 ha per ampiezza a -^ . 



§ 3. — Lemma I. — Una funzione della forma: 



(S{x)-—y^ «r sen {-^ -f- 9'J 



con a,. 4= , T,. > 0, non può essere identicamente nulla, se nel 

 gruppo di numeri Tj, Tg, ..., T„ esiste un numero differente da 

 ciascuno degli altri. 



Dimostriamolo per induzione. Se w = 2 viene: 



a {x) = ay sen \-^^ + cpij 4- a^ sen \-^ -\- (Pa 



Se a{x) = Qi identicamente, è anche; 



identicamente, e quindi: 



:^0 



a, (2jìx , \ I «2 (2ytx ■ \ .. 



-# ^^" \-Y[ + 'p^j + é '"" (-^ + ^^) = ^ • 



Se ne ricava: 



Ti2 = Ti" 

 e quindi: 



T, = T,. 



Supponiamo, ora, il teorema vero fino ad m — 1 e dimo- 

 striamolo vero per m. 



Se a (x) ^= identicamente, anche tutte le derivate saranno 

 identicamente nulle. Considerando le prime m — 1 derivate di 

 ordine pari, avremo così il sistema: 



VI 



2] ^ sen (^J + (p,.j = {n = 0, ..., m — \) 



