26 MARIA LOMBARDINI 



il lemma I ci dice che si deve avere T^ = T^ ovvero p^ = P2= 0: 

 la prima ipotesi è contraria a quella iniziale che T^ > 21 ; la 

 seconda ha per conseguenza: 



tti = 1 q)i = Oa = a qpj = 9 , 



con che si prova l'enunciato. 



Una 3 è periodica sempre e soltanto se i due periodi T^ e Tg 

 sono commensurabili. 



Abbiamo subito che la condizione è sufficiente, perchè se : 



nTi = m J\ = T, 



T è periodo della s {x). Viceversa se la s è periodica di pe- 

 riodo r, si deve avere: 



/ >. 2-nx , (2rcx ■. \ 



s (a;) = sen — + a sen \-^ ■\- (pj 



s (ce) = sen — ^-^ + a sen (^ '—^ [- qpj 



e quindi identicamente: 



= Jsen— -sen ^r— ( + 



4- a J sen (^— + qp] — sen y ^r ^^))' 



Essendo Ti#= Tg, le due espressioni racchiuse tra parentesi 

 non possono essere, per il lemma I, due sinussoidi di ampiezza 

 non nulla, quindi deve aversi, identicamente: 



2Tta; 2Tr(j;+7') 



sen ~^^ = sen 



e quindi: 



1\ Ti 



12-nx , \ (2-a{x+T) ^ \ 



sen (^--^ + qp j = sen y — ^ - ' -r <PJ 



2rcT o 2Trr ^ 



= 2ttw? — =— = 2ttm 



(m e n interi), onde: 



Ti n ' 



